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Svp De L'aide ! Merci !


taty

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Bonjour !

Je suis en 2ème année de bio et une vraie "nulle" en maths!). Malgré mes recherches, je n'arrive pas à démarrer cet exercice. Pouvez-vous m'aider à le résoudre, svp. MERCI BEAUCOUP !!!

Une entreprise fabrique des unités d'un certain produit , en intégranbt dans chacune de ces unités un composant d'un type particulier qu'elle se procure auprès de trois fournisseurs A, B, et C . A partir des livraisons qui lui sont faites , l'entreprises peut connaitres pour chaque lot de fabrication le nombre de composants provenants de chacun de ces trois fourniseurs , tandis que l'estampillage du lot de fabrication sur chaque unité produite permet de préciser pour tous les lots le nombre de composants qui se sont révélés défaillants à l'usage. Mais le manque de traçabilité des composants , au coursd du processus de fabrication, empêche de déterminer les fournisseurs respectifs de ces composants défaillants. Or dans un souci de rentabilité économique , l'entreprise aimerait tout de même avoir une information sur le taux de défaillance des composants provenant de chacun de ses fournisseurs.

Pour cela elle a collecté les données indiquées en annexe.Celles-ci répertorient pour 10 lots de fabrication, le nombre de composants par fournisseurs , ainsi que le nombre de composants défaillants.

FORMALISATION Mathématiques

Soit oméga l'ensemble des composants utilisés dans les 10 lots répertoriés. Pour tout indice i=1,...,10,soit alors Ni(en indice) le sous ensemble d'oméga constitué des composants w incoporés aux unités appartenant au i-ème de ces dix lots de fabrication.Ces sous ensembles Ni pour i=1,...,10,sont donc deux à deux disjoints et leur réunion est tout oméga grand . Par ailleurs toujours dans Grand oméga , soit A, Bet C les sous ensembles qui réunissent les composants provenant respectivement des fournisseurs A,Bet C.Là encore ces trois sous ensembles sont deux à deux disjoints et leur réunion est Grand omega .Enfin soit D le sous ensemble de grand omega regroupant les composants défaillants.

Avec ces notations, si pour tout sous ensemble E dans grand oméga on désigne par v(E) le nombre des composants lui appartenant , les données en annex précisent pour tout indice i=1,...10 les nombres v(Ni inter A), v(Ni

inter B,v(Ni inter C) et v(Ni inter D ) tandis que l'on cherche à avoir une information concernant les taux :

p= v(DinterA)/v(A)

q=v(DinterB)/v(B)

r=v(DinterC)/v©

Modélisation probabilistique

Sur l'ensemble {1,...,10}des numéros des lots de fabrication répertoriés, soit f , g et h les fonctions réelles définies par :

A (à l'envers) i=1,...10

f(i)=v(Ni inter A)/v(Ni)

g(i)=v(NiinterB)/v(Ni)

h(i)=v(NiinterC)/v(Ni)

Soit aussi k la fonction réelle définie sur cet ensemble {1,...10} par :

A (à l'envers ) i= 1,...,10 k(i) = v(Ni inter D )/v(Ni)

(ici à chaque fois i après N est en indice )

et soit enfin l A, lB et lC les fonctions réelles définies sur ce même ensemble {1,...10} en prenant pour chaque indice i = 1,...,10

lA ( ici A est en indice ) (i) = v (Ni inter A inter D )/v(Ni inter A )

lB(i)=v(Ni inter B inter D )/v(Ni inter B )

lC (i) = v(Ni inter C inter D )/v(Ni inter C )

B et C sont aussi en indice ainsi que i après le N

QUESTION

1) Justifier que dans l'espace de toutes les fonctions réelles sur l'ensemble {1,...,10} on a : f+g+h=1 c'est à dire : A à l'envers(quelque soit) i=1,...10

f(i)+g(i)+h(i)=1

2)Etablir également que dans ce même espace :

k=lAf+lBg+leh

3)Constater que sur l'ensemble {1,...10}, il existe une unique probabilité Q laquelle :

A (à l'envers) i=1,...10 Q({i})=v( Ni)/v (oméga)

Résolution mathématique :

4) Sur l'espace de probabilité correspondant ({1,...10},Q), calculer les espérances mathématiques , ainsi que la matrice des variances -covariances, des trois variables aléatoires qu'y constituent les fonctions réelles f, g et K.

5)Etant donnés des coefficients alpha , béta ,et gama pour lesquels l'expression alphabéta-gama^2 est strictement positive , ainsi que des nombres réels s et t , formuler au moyen de ces donnés les solutions x et y du système des deux équations à deux inconnues x et y :

{ alpha x+ gama y =s

gamax+Bétay=t

6) Déterminer les coefficients réels u,v et w de la régression linéiare k'=uf+vg+w de k par rapport au couple des variables aléatoires f et g , sur l'espace de probabilité ({1,...,10},Q)

7)Trouver les nombres réels p' , q' et r' avec lesquels : k' = p'f +q'g+r'h

8) Sur l'espace de probalbilité ({1,...,10},Q), calculer le coefficient de régression linéaire de k par rapport au couple des variables aléatoires f et g , ainsi que des indicateurs statistiques de l'écart k'-k

9)Apprécier alors la qualité des estimations par les nombres p', q' et r' des taux de deéfaillances inconnus p, q et r .

Je vous remercie d'avance pour votre aide .

A bientôt

Taty

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