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Ita

Fonction trigo

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Bonsoir je suis bloqué sur une question, il faut prouver que cette fonction est périodique de période pi

 

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Je note f(x)=sin(x)/cos(x).

sin(x+pi)=-sin(x)

cos(x+pi)=-cos(x)

=>

sin(x+pi)/cos(x+pi)=-sin(x)/(-cos(x)=sin(x)/cos(x)

On a bien f(x+pi)=f(x) ce qui montre que la fonction est périodique de période pi.

En toute rigueur, Il faudrait justifier que c'est bien pi la plus petite valeur qui répond à la définition, mais je pense qu'en terminale, on n'en demande pas tant.

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Bonjour,

Il facile de montrer que Pi est UNE période de f(x) = sin(x)/cos(x)

Si on veut montrer que Pi est bien la plus petite période strictement positive, il suffit d'étudier les variations de f(x) sur ]-Pi/2 ; Pi/2[

f'(x) = ... et conclure que f(x) est strictement croissante sur ]-Pi/2 ; Pi/2[ ... et qu'il est donc impossible d'avoir f(x) = f(x+a) avec x dans ]-Pi/2 ; Pi/2[ et a différent de 0, ce qui permet de conclure que T (strictement positive) ne peut pas être < Pi 
 

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Black Jack, je pose une question bête : pourquoi étudier sur (-:pi:/2, +:pi:/2) ? on a démontré que :pi: était une période mais si on veut démontrer que c'est la plus petite strictement positive, il faut étudier entre 0 et :pi: , non ? et la dérivée 1/cos²x est d'ailleurs positive quelque soit x

 

Black Jack, ne tiens pas compte de mon précédent message ! (:rolleyes: la fonction est non définie pour x =:pi:/2 !) et on l'étudie bien sur l' intervalle ouvert ] -pi/2, +pi/2[ 

comme quoi, tourner 7 fois son stylo avant d'écrire, c'est utile

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