Math

[Fabien2002]

[Barbidoux]

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Soit f(x) = exp(x)*exp(-x)
 Pour tout x de R,
f'(x) = (exp(x))'*exp(-x) + exp(x)*(exp(-x))' = exp(x)*exp(-x) - exp(x)*exp(-x) = 0.
 Comme pour tout x de R,
f'(x) = 0 ==> f(x) = Cste comme f(0) = exp(0)*exp(0) = 1*1 on en déduit que la constante vaut 1
donc f(x) =  exp(x)*exp(-x)=1.
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soit g(x)=exp(x+a)*exp(-x)
g'(x)=exp(x+a)'*exp(-x)-exp(x+a)*exp(-x)=exp(-x)*(exp(x+a)'-exp(x+a))=0
puisque par définition exp'=exp
On en conclut que
g(x)=exp(x+a)*exp(-x)=cst
comme g(0)=exp(a) on en déduit que g(x)=exp(x+a)*exp(-x)=exp(a) ==> exp(x+a)*exp(-x)*exp(x)=exp(a)*(exp(x) et comme exp(x)*exp(-x)=1  ==>exp(x+a)=exp(x)*exp(a)
3-------------------
sh(x) et ch(x) sont les sommes de fonctions dérivables (esp(x) et exp(-x) sur R donc elles sont dérivables sur R
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ch(x)^2=((exp(x)+exp(-x))/2)^2=(exp(2*x)+2+exp(-x)^2)/4
sh(x)^2=((exp(x)-exp(-x))/2)^2=(exp(2*x)-2+exp(-x)^2)/4
ch(x)^2-sh(x)^2=4/4=1
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ch(a+b)=(exp(a+b)+exp(-a-b))/2=(exp(a)*exp(b) +exp(-a)*exp(-b))/2
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ch(a)=(exp(a)+exp(-a))/2
ch(b)=(exp(a)+exp(-b))/2
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ch(a)*ch(b)=((exp(a)+exp(-a))*(exp(b)+exp(-b))/4=(exp(a+b)+exp(a-b)+exp(b-a)+exp(-a-b))/4
sh(a)*sh(b)=((exp(a)-exp(-a))*(exp(b)-exp(-b))/4=(exp(a+b)-exp(a-b)-exp(b-a)+exp(-a-b))/4
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ch(a)*ch(b)+sh(a)*sh(b)=2*(exp(a+b)+exp(-a-b))/4=(exp(a+b)+exp(-a-b))/2=ch(a+b)