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Ranio

Exponentielle

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Il y a 3 heures, Ranio a dit :

Pour la récurrence moi je suis partie avec f(x) = (exp(2x) -1)/(exp(2x)+1); et je trouve :

Propriété au rang n : 0=<Un+1=<Un=<1 Initialisation au rang 0: on a u0=1 et f(u0)= 0,762 initialisation vérifiée !

Hérédité avec p : on veut prouver que 0=<Up+2=<Up+1=<1

on applique f qui est strictement croissante sur (0;1) ???  et alors ?

or f(0)= 0 et f(1) =0,762  = c'est faux non ? non c'est l'initialisation

; f(Up) =Up+1 et f(Up+1) = Up+2  ça c'est une application de la définition de un

on en déduit  0=<Up+2=<Up+1=<1 non !!! c'est une affirmation gratuite, c'est ce qu'il faut démonter

Je crois que tu n'a pas bien compris ce qu'est une démonstration par récurrence :

6b—————————————

On veut démonter que 0≤ un+1<un
avec un+1=f(un)=(exp(2*un)-1)/(exp(2*un)+1)=1-2/(exp(2*un)+1)
1°) Initialisation : On vérifie que P(n) est vraie pour une certaine valeur de n, appelée n0.  On choisit pour n0, la plus petite valeur de n possible.

n=1 ==>  u1=0.761 et  u2=f(u1)=0.642   ==>0≤u2≤u1≤1 (P1)

2°) Hérédité :  On suppose que P(n) est vraie pour un entier n≥n0.
 0≤un≤un-1
On démontre que cela entraine que P(n+1) est vraie. à l’ordre (n+1)

un+1=f(un)=(exp(2*un)-1)/(exp(2*un)+1)=1-2/(exp(2*un)+1) or 0<un≤un-1 ==> 1-2/(exp(2*un)+1)≤ 1-2/(exp(2*un-1)+1)<==> f(un)≤f(un-1) <==> un+1≤un

3°) Conclusion Comme P1 est vraie et P(n) est héréditaire pour tout entier n≥1. Donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier n≥1.
la relation étant vérifiée à l’ordre n+1 est héréditaire donc valide pour toute valeur de n

 

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On veut démonter la propriété 0≤ un+1≤un avec un+1=f(un)

La relation un+1<un n'est pas vérifié au rang 0 puisque pour n=0 on a u1=0.761 et u0=0, par contre elle l'est au rang 1 puisque u2=0.642 et u1=0.761. L'initialisation doit donc se faire pour n=1.

Ensuite pour l'hérédité : tu la suppose vérifiée pour un rang quelconque (moi j'ai considéré le rang tel que 0≤un≤un-1 et admis qu'elle était vérifié pour ce rang, mais tu peux choisir ce que tu veux ... ) à partir de là  il te faut démontrer qu'elle est vérifiée pour le rang suivant donc dans mon cas que un+1≤un  (ce que j'ai fait). Mais si tu veux admettre que la proposition est vraie pour n=p ce qui revient à écrire up+1≤upil  faut démonter que up+2≤up+1 et pour cela il n'est pas suffisant de dire que up+1=f(up) et up+2=f(up+1) car ceci n'est que l'application de la définition de un. Il faut encore le justifier et pour cela plusieurs possibilités, écrire  l'expression de  f(p+1) et montrer que sa valeur est inférieure à celle de f(p) (ce que j'ai fait), ou faire appel au  sens de variation de la fonction f(u) vue au début de l'exercice ce qu'il faut expliquer.

 

Et pour le raisonnement par récurrence tu peux aller voir là : http://www.jaicompris.com/lycee/math/suite/suite-recurrence.php

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La suite est définie à partir de u0=1, donc je ne vois pas pourquoi tu commencerais à un autre indice. Barbidoux avait commencé à u1 car pour lui, u0 était égal à 0, donc ne convenait pas.

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Il y a 5 heures, julesx a dit :

Bonjour Barbidoux,

Juste une remarque, cf. énoncé, u0=1, donc on peut faire l'initialisation à partir de n=0.

oui exact au temps pour moi...  u0=1 au lieu de u0=0 et la relation est bien vérifié pour n=0

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