La récurrence terminale s

[Laura Duboi]

J'ai des difficultés surtout la récurrence, voici un exercice réalise en cours que je n'ai pas bien compris:

Il s'agite de démontrer par récurrence que 4^n -1 est divisible par 3 voici ce qui a été fait:

Soit Pn la proposition" il existe un réel K tel que 4^n -1=4K" Quel l'on cherche à démontrer pour tout n appartenant à n.

Initialisation:

pour n=0 à gauche:0 et à droite:0 donc P0 est vraie

heredite: Soit n appartenant à N on suppose que on est vrai : 4^n -1=3k

et l'on montrer que Pn+1 est vraie

4^n -1=4^n *4

          =4(4^n -1)+3

           = 4*3K+3

           =3(4K+1) 

j'aurais juste besoin de savoir pourquoi on ajoute le 3  et factorise par 3. Je remercie chaque personne me venant en aide

           Cordialement, Laura

[Barbidoux]

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Initialisation :

Vrai à l’ordre 1 puisque 4^1-1=3

Heridité

On suppose que 4^n-1 est divisible par 3

à l’odre n+1

4^(n+1)-1= 4*4^n-4+3=4*(4^n-1)+3 

comme 4^n-1 est divisible par 3 alors 4*(4^n-1) l’est aussi tou comme 4*(4^n-1)+3. On en déduit que 4^(n+1)-1 est divisible par 3. la relation est donc héréditaire et donc valide quelques soit la valeur de n.

[Laura Duboi]

Merci