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Bonjour à tous !

Je travaille sur un exercice où il s'agit de déterminer l'aire entre la courbe de f et l'axe des abscisses pour x>0 avec  image.png.28ad87d5558dc9f6967b4dc7dc7b02e5.png 

L' énoncé mâche le travail en indiquant qu'une primitive de f est de la forme image.png.adfd57259084be2a403f80d0a53a906f.png 

Ma question est la suivante : sans cette aide de l'énoncé, aurait-on pu néanmoins trouver la forme générale de cette primitve ?

Merci d'avance de vos réponses ! :) 

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Bonsoir,

Cela dépend à quel niveau on se place. En terminale, elle est hors programme. Mais dès la première année de licence de maths ou prépa, on peut la demander facilement.

Pour la technique (je suppose que c'est ce que tu attends de nous), il suffit de faire une IPP.

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f(x)=x*√(x-6)

Changement de variable x=y+6 ==> (y+6)*√y=y^(3/2)+6*y^(1/2) dont la primitive 2*(y+10)*y^(3/2)/5 est facile à déterminer même en terminale. Retour ensuite à F(x) en posant y=x-6==> F(x)=2*(x+4)*(x-6)^(3/2)/5

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il y a 5 minutes, Barbidoux a dit :

f(x)=x*√(x-6)

Changement de variable x=y+6 ==> (y+6)*√y=y^(3/2)+6*y^(1/2) dont la primitive 2*(y+10)*y^(3/2)/5 est facile à déterminer même en terminale. Retour ensuite à F(x) en posant y=x-6==> F(x)=2*(x+4)*(x-6)^(3/2)/5

Bonjour Bernard,

l'intégration avec changement de variables n'est plus au programme en Terminale depuis plusieurs allègements des programmes. Dommage, c'est souvent assez commode.

Bonnes vacances et bonne rentrée.

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Merci à tous pour vos réponses,

Je vais essayer de compléter la réponse de Barbidoux en tentant l'intégration par partie suggérée par Boltzmann_Solver !

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Salut,

Autre changement de variable possible :

Poser  x-6 = t²

dx = 2t dt

x*V(x-6) dx = (t²+6)*t*2t dt = 2(t^4 + 6t²) dt

S 2(t^4 + 6t²) dt = 2(t^5/5 + 6t³/3) = 2/5 * t^5 + 4 t³ = t³(4 + 2/5.t²) = (x-6).V(x-6)*(4 + 2/5 (x-6))

S x.V(x-6) dx = (2/5)*(x-6).V(x-6)*(x + 4)

F(x) = (2/5)*(x-6).V(x-6)*(x + 4) est une primitive de f(x) = x.V(x-6)

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Voici ce à quoi j'arrive par IPP :

On pose image.png.bc969e4b9c1f6ce453a98a1e4a199cc8.png  donc : image.png.c3349f9264cfe8d25c2ef2e5f09a3df1.png

Dès lors image.png.725c9b6c4f10cb53c997604550d74f6b.png

                                                                 =      image.png.6fc7d76b9408bef5700beb1b2a4c4ce2.png

                                                             image.png.8f86d1245e934ed71cdd6ff4f613185e.png

Et après réductions :                         image.png.0fd9ce8dd7437ff11c39d86f824da422.png

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Oui, mais pourquoi s'enquiquiner avec un signe - en posant v'(x)=√(6-x) ? Au départ, la fonction à intégrer est √(x-6).

A noter également que tu écris initialement "x>0" alors que ta fonction n'est définie que pour x>6 ?

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Il y a 12 heures, julesx a dit :

Oui, mais pourquoi s'enquiquiner avec un signe - en posant v'(x)=√(6-x) ? Au départ, la fonction à intégrer est √(x-6).

A noter également que tu écris initialement "x>0" alors que ta fonction n'est définie que pour x>6 ?

Au temps pour moi, j'ai fait une erreur dans le premier post, la fonction en question a bien pour terme général image.png.a20def6e1992d86af66409c64a2811de.png   :blush:

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OK, par contre, en toute rigueur, il faudrait préciser que x est limité à 6 !

Modifié par julesx

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