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C8H10N4O2

Inéquation trigonométrique

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Bonjour à tous ! :)

Je souhaiterais savoir comment résoudre l'inéquation :  image.png.01362e22b6e1740c47a75c97b6fcf075.png  . Je vois bien graphiquement sur le cercle trigonométrique que les solutions pour image.png.d20e94fceb22c34269325cd872e797bd.png  sont tous les angles x tels que    image.png.ba3c21199179c23ae3b421c6aabd16f6.png . 

Mais quand j'essaie de résoudre algébriquement cette inéquation, voilà ce que ça donne

image.png.01362e22b6e1740c47a75c97b6fcf075.png     image.png.945e499dee75e0e09008363a8a325b5b.png  car la fonction arccos est décroissante pour  image.png.a6b8acc2ca247e9240a50a8db2fc3ec8.png .  

Donc je trouve bien  image.png.bb7eaba4138246ce386e6824e7e3a8f7.png  , mais aussi  image.png.66f3806d07f754927e0e8dbfb4c5f621.png  , ce qui n'est pas correct.

Peut-être que l'équivalence image.png.01362e22b6e1740c47a75c97b6fcf075.png    image.png.945e499dee75e0e09008363a8a325b5b.png n'est pas valable et que je dois me contenter de dire image.png.01362e22b6e1740c47a75c97b6fcf075.pngimage.png.cbbede8a77a025d4ea08e1b9ca24535f.png   et ensuite raisonner par symétrie autour de l'axe des cosinus.

Qu'en pensez-vous et d'une manière générale, quelle est la méthode pour résoudre des inéquations de type :  image.png.656c66632a58439a83eaf2bd47797d5a.png   ?

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J'aurais dit que :

soit à résoudre cos(x)≤1/2

si x appartient à [0,π] alors  x≥arccos(1/2)   <===> x≥π/3 ==> x appartient à [π/3,π] 

si x appartient à [-π,0] alors -x appartient à [0,π] et cos(-x)≤1/2 <==> -x≥arccos(1/2)<==> -x≥π/3 ==> -x appartient à [π/3,π] et donc  x appartient à [-π,-π/3]

finalement  cos(x)<1/2  <==>x appartient à [-π,-π/3] U [π/3π]

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D'accord. Je pensais qu'il existait peut-être une solution générale pour ce type d'inéquation, de type image.png.b4720c8ecedd7d5dece8ae7b33ce2419.png  ou quelque chose du genre...

Merci Barbidoux

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Le 09/06/2019 à 12:45, C8H10N4O2 a dit :

Bonjour à tous ! :)

Je souhaiterais savoir comment résoudre l'inéquation :  image.png.01362e22b6e1740c47a75c97b6fcf075.png  . Je vois bien graphiquement sur le cercle trigonométrique que les solutions pour image.png.d20e94fceb22c34269325cd872e797bd.png  sont tous les angles x tels que    image.png.ba3c21199179c23ae3b421c6aabd16f6.png . 

Mais quand j'essaie de résoudre algébriquement cette inéquation, voilà ce que ça donne

image.png.01362e22b6e1740c47a75c97b6fcf075.png     image.png.945e499dee75e0e09008363a8a325b5b.png  car la fonction arccos est décroissante pour  image.png.a6b8acc2ca247e9240a50a8db2fc3ec8.png .  

Donc je trouve bien  image.png.bb7eaba4138246ce386e6824e7e3a8f7.png  , mais aussi  image.png.66f3806d07f754927e0e8dbfb4c5f621.png  , ce qui n'est pas correct.

Peut-être que l'équivalence image.png.01362e22b6e1740c47a75c97b6fcf075.png    image.png.945e499dee75e0e09008363a8a325b5b.png n'est pas valable et que je dois me contenter de dire image.png.01362e22b6e1740c47a75c97b6fcf075.pngimage.png.cbbede8a77a025d4ea08e1b9ca24535f.png   et ensuite raisonner par symétrie autour de l'axe des cosinus.

Qu'en pensez-vous et d'une manière générale, quelle est la méthode pour résoudre des inéquations de type :  image.png.656c66632a58439a83eaf2bd47797d5a.png   ?

Une autre façon de faire est l'étude des variations de la fonction cos sur ]-pi;+pi]. Sans passer par Arcos qui n'est pas au programme en TS.

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il y a 55 minutes, pzorba75 a dit :

Une autre façon de faire est l'étude des variations de la fonction cos sur ]-pi;+pi]. Sans passer par Arcos qui n'est pas au programme en TS.

C'est très juste, merci.

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