Décomposition d'une fraction rationnelle

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous !

Dans le cadre de l'étude de l'intégration par décomposition , l'un(e) d'entre vous pourrait-il m'expliquer comment démontrer que le rapport de deux fonctions polynômes  et   avec degré(R) < degré (D) peut s'écrire sous la forme     (A et B des constantes) dans le cas où D(x) est du second degré admettant deux racines x₁ et x₂ ? 

Merci d'avance !  

Modifié le 9 mai 2019 par C8H10N4O2

[Barbidoux]

[C8H10N4O2]

Super merci beaucoup !

Je n'ai pas trop saisi la factorisation qui permet de passer de la première égalité à la seconde, mais je vais revoir ça à tête reposée !  

[julesx]

Pour info, un procédé souvent utilisé dans ce cas consiste à partir de la décomposition de principe

(x-x3)/[(x-x1)*(x-x2)]=A/(x-x1)+B/(x-x2) (si R(x) est du premier degré, bien sûr)

à multiplier des deux côtés par x-x1 (resp. x-x2) et faire x=x1 (resp. x=x2)

(x-x1)*(x-x3)/[(x-x1)*(x-x2)]=A+B*(x-x1)/(x-x2)

soit, avec x=x1,

(x1-x3)/(x1-x2)=A

et avec x=x2,

(x2-x3)/(x2-x1)=B

sauf fautes de frappe !

[C8H10N4O2]

J'arrive au cheminement suivant : 

 

 

et je retombe bien sur   .

 

Mais jamais je n'aurais trouvé cette piste tout seul !!

il y a 12 minutes, julesx a dit :

Pour info, un procédé souvent utilisé dans ce cas consiste à partir de la décomposition de principe

(x-x3)/[(x-x1)*(x-x2)]=A/(x-x1)+B/(x-x2) (si R(x) est du premier degré, bien sûr)

à multiplier des deux côtés par x-x1 (resp. x-x2) et faire x=x1 (resp. x=x2)

(x-x1)*(x-x3)/[(x-x1)*(x-x2)]=A+B*(x-x1)/(x-x2)

soit, avec x=x1,

(x1-x3)/(x1-x2)=A

et avec x=x2,

(x2-x3)/(x2-x1)=B

sauf fautes de frappe !

Remarque très intéressante parce que je préfère lors d'intégration par décomposition me débarrasser des dénominateurs et procéder par identification. Il me semble étrange de faire x=x₁ ou x = x₂ alors que ce sont précisément les valeurs pour lesquelles notre expression n'est pas calculable ... Je n'ai jamais compris la logique de cette méthode alors je veux bien être éclairé sur ce point !!

 

[julesx]

Autant que je me rappelle, mais c'est loin tout ça, dans cette méthode, on raisonne en fait en termes de limite. On multiplie par un des dénominateurs et on fait tendre les deux côtés par le terme qui l'annule. Désolé, je suis "bricoleur" pas mathématicien...

[Barbidoux]

[C8H10N4O2]

Il y a 1 heure, Barbidoux a dit :

Merci  

[C8H10N4O2]

Bonjour Barbidoux  

Bon après relecture , je me rends compte que je ne comprends pas comment on réalise la première décomposition : 

Quelle est la méthode à appliquer ici ?

[C8H10N4O2]

Faut-il procéder de la sorte? 

 

Modifié le 11 mai 2019 par C8H10N4O2

[Barbidoux]

[C8H10N4O2]

Merci je comprends beaucoup mieux ! 

Du coup je m'intéresse aux cas où D(x) est du second degré avec une racine double, et où D(x) est sans racine. 

Comment montrer que dans le premier cas, on a :    

et dans le second :  , après un changement de variable( J'arrive à la faire empiriquement en mettant D(x) sous forme canonique, mais j'aimerais connaître une démo générale) . Si vous avez une petite idée...

[julesx]

J'ai l'impression que dans les réponses, on ne répond pas exactement à tes questions.

Tu dis "montrer que" et on te répond en parachutant le résultat et en te disant comment on obtient les coefficients. Bien sûr, en reprenant le calcul de Barbidoux, on montre effectivement que la solution est unique, mais, pour moi,  c'est un "a fortiori". Je ne vois d'ailleurs pas pourquoi il met de côté x-x3 au départ, en gardant ce terme, on a à résoudre le système

a+b=1

b*x1+a*x2=x3

ce qui n'est pas plus compliqué

(et je persiste et signe, ma méthode de multiplication par les dénominateurs est au moins aussi rapide et s'applique à nombre quelconque de pôles simples).

Regarde un peu sur la toile, il y a des justifications à partir des valeurs interdites de la fraction de départ (les fameux pôles) qui doivent se retrouver dans les fractions simples.

Ceci s'applique aussi aux pôles multiples (racine double en particulier).

 

Quant à (Au+B)/(u²+1), on sépare simplement la fraction sous la forme Au/(u²-+1)+B/(u²+1)

Modifié le 11 mai 2019 par julesx

[C8H10N4O2]

Il y a 1 heure, julesx a dit :

J'ai l'impression que dans les réponses, on ne répond pas exactement à tes questions.

 

Je ne suis pas tout à fait d'accord. Tout le principe de la méthode d'intégration par décomposition consiste à passer d'une expression dont on ne peut connaître facilement les primitives (en particulier une fraction rationnelle) à une somme d'expressions plus simples dont on connaît les primitives.

Et la méthode est souvent enseignée en demandant de déterminer A et B tels que    sans s'attarder sur le fait de démontrer d'où sort cette égalité.

La méthode de multiplication des dénominateurs porte il me semble sur le calcul des coefficients A et B alors que ma question porte en amont sur la possibilité même de décomposer une fraction rationnelle de la sorte. Ce à quoi les réponses de Barbidoux répondent à mon sens parfaitement !

Il y a 2 heures, julesx a dit :

 

Quant à (Au+B)/(u²+1), on sépare simplement la fraction sous la forme Au/(u²-+1)+B/(u²+1)

J'avoue ne pas très bien saisir cette phrase  . Serait-il possible de détailler un peu le raisonnement ? 

[julesx]

Il y a 13 heures, C8H10N4O2 a dit :

ma question porte en amont sur la possibilité même de décomposer une fraction rationnelle de la sorte. Ce à quoi les réponses de Barbidoux répondent à mon sens parfaitement !

Ce n'est pas l'impression que j'avais, mais si tu es satisfait de la réponse, je ne veux pas être plus royaliste que le roi.

Il y a 13 heures, C8H10N4O2 a dit :

Quant à (Au+B)/(u²+1), on sépare simplement la fraction sous la forme Au/(u²-+1)+B/(u²+1)

Comme tu l'as dit auparavant, le but est ici de décomposer la fraction de façon à pouvoir l'intégrer.

Au/(u²+1) est de la forme u'/(u²+1) dont une primitive est ln(u²+1)

B/(u²+1) s'intègre directement en B*atan(u).

Il n'y a donc pas besoin de chercher plus loin.

[C8H10N4O2]

Je suis satisfait dans le sens où ma question s'apparente à celle d'un élève de seconde qui s'interrogerait sur comment obtenir la forme canonique d'un polynôme du second degré.

Ma réponse aurait été de montrer qu'en partant de   , 

on arrive en quelques étapes à  

Il me semble que c'est mutatis mutandis ce qu'a fait Barbidoux avec ses réponses.

J'aimerais d'ailleurs connaître sa méthode pour D(x) avec une racine double et D(x) sans racine  

[julesx]

En attendant que Barbidoux revienne...

Pour une racine double, deux méthodes possibles :

En partant de (x-a)/(x-b)²=A/(x-b)+B/(x-b)².

* Réduire au même dénominateur et identifier les numérateurs.

(x-a)/(x-b)²=A/(x-b)+B/(x-b)²=[A(x-b)+B]/(x-b)²=(Ax-Ab+B)/(x-b)²

d'où le système

A=1 immédiat

-Ab+B=-a => B=b-a

* Effectuer les deux opérations suivantes.

1) Multiplier par (x-b)² et faire x=b d'où b-a=0+B soit B=b-a.

2) Multiplier par x-b et faire tendre x vers l'infini.

La multiplication donne (x-a)/(x-b)=A+B/(x-b).

x tend vers l'infini => (x-a)/(x-b) tend vers 1 et A+B/(x-b) tend vers A, d'où A=1.

 

A noter qu'une autre possibilité dans tous les cas peut consister à donner à x autant de valeurs différentes (mais autres que celles interdites) que de paramètres à trouver. On obtient ainsi un système de n équations à n inconnues qu'il suffit de résoudre.

 

 

 

 

 

 

[Barbidoux]

[C8H10N4O2]

Merci beaucoup

Mais alors comment se présente le changement de variable dans le dernier cas pour obtenir au final la forme :    ?

[Barbidoux]

[C8H10N4O2]

il y a 31 minutes, Barbidoux a dit :

ouh là, j'ai du mal à identifier ce que serait u(x) dans tout ça ! 

[Barbidoux]

C'est B/(D(x) que je met sous la forme k*du/(1+u).....

[C8H10N4O2]

j'ai rien compris !

C'est pas grave, si à l'occasion vous avez le temps d'expliciter un peu le raisonnement de manière à montrer comment on retrouve la forme Au+B/(u²+1) dans l'expression à laquelle vous parvenez, ce serait top !

Mais sinon ce n'est pas grave, merci encore pour toutes ces explications !  

[Barbidoux]

Dans la cas où D(x) n'a pas de racine réelles je ne vois pas ce que l'on gagne à effectuer un changement de variable pour mettre l'expression sous la forme (Au+B)/(1+u^2), cela me semble bien compliqué. Il me semble qu'il est plus simple de mettre dans un  premier temps R(x)/D(x) sous la forme A*D'(x)/D(x)+B/D(x) ce qui permet d'intégrer facilement le premier terme dont A*ln(D(x) est une primitive , puis d'effectuer après cela un changement de variable sur le terme A/D(x) pour le mettre sous la forme de k*du/(1+u^2) dont k*ArcTan(u) est une primitive.  

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous !

Pour être sûr d'avoir bien saisi, seriez-vous d'accord avec le raisonnement suivant pour déterminer     ?

 , donc en application de  :

 

 

Donc :  , avec x différent de -2 et de 1 .

Modifié le 13 juillet 2019 par C8H10N4O2