Fonctions circulaires hyperboliques

[mwilli]

Bonsoir à tous,

Tout d'abord, toutes mes excuses pour mon absence prolongée, due à des facteurs exogènes. 

S'il vous plaît, merci de votre aide pour cet exercice:

1. Montrer que pour tout x > 0,

shx / V(sh²x +ch²x) < thx < shx < 1/2sh2x                               (V = rac. carrée )

2. En déduire que si a et b sont deux réels distincts et strictement positifs, alors:

2 / (1/a +1/b)  < V ab < b -a / (lnb - lna) < (a +b)/2 < V( (a² +b²)/2 )

Merci d'avance

Cordialement

 

[Barbidoux]

1—————————

pour x>0 ==>  0< sh(x)^2 ==> ch(x)^2<ch(x)^2+sh(x)^2 ==> ch(x)^2/(ch(x)^2+sh(x)^2)<1 ==> 1/√(ch(x)^2+sh(x)^2)<1/ch(x) ==> sh(x)1/√(ch(x)^2+sh(x)^2)<sh(x)/ch(x) ==> sh(x)1/√(ch(x)^2+sh(x)^2)<th(x) 

—————————

1<ch(x) ==> 1/ch(x)<1 ==> sh(x)/ch(x)<sh(x) ==> th(x)<sh(x)

—————————-

1<ch(x) ==> sh(x)<sh(x)*ch(x)=sh(2*x)/2

2—————————

Il suffit de poser exp(x)=√(b/a) et d’écrire (au moins pour les deux premières inégalités) que pour x>0 alors 1<ch(x) et que x<sinh(x)

[mwilli]

Bonjour Barbidoux,

Merci beaucoup pour vos explications.

Cordialement