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Bonjour ,j'ai commencé un Exercice récemment afin de m'avancer sur mon Programme de Terminale S, mais je Bloque sur les deux premières questions  je souhaiterait recevoir de l'aide svp. 

Merci d'avance 20180910_174330.thumb.jpg.eb0438689ae54985e4817ee1529bbe52.jpg

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f(x)=x^3+k*x^2+x+1

f’(x)=3*x^2+2*k*x+1 

∆=4*k^2-12=4*k^2-3 si k est compris entre -√3 et √3 pas de tangentes horizontales f'(x)>0 pas d'extremum

b)————————

k^2>3 les racines de f’(x) valent x1=1/3 (-k +√(k^2-3)) et x21/3=(-k +√(k^2-3)) différence des racines égale à x2-x1=(2/3)*√(k^2-3). Pour que l’on ait un plus grand intervalle où f est décroissant il faut que 

x2-x1=10 soit k=-2*√57 ou k=2*√57

-------------

à détailler et rédiger correctement....

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il y a 34 minutes, DoucheColorée a dit :

Bonjour, je n'ai pas compris pourquoi dans la question numéro une, on passe de ∆=4*k^2-12 à ∆=4*(k^2-3)-merci pour le reste tout rentre comme dans du beurre

parenthèse oubliées à la frappe

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J'explique : lorsque k appartient  à l'intervalle ]-√3, √3[ alors f'(x) n'a pas de racines et est du signe du coefficient de x^2 donc entièrement >0, ce qui signifie que la fonction f(x) n'a pas d'extremum et donc pas de tangentes horizontales. Si k={-√3,√3} alors f'(x) a une racine double et un point d'inflexion à tangente horizontale, enfin si k appartient à l'intervalle   ]-∞, -√3[ U ]√3, ∞[  alors f'(x) a deux  racines et est du signe du coefficient de k^2 à l'extérieur de ces racines. Dans ce dernier cas lorsque x varie de -∞ à +∞  la fonction f(x) croit passe pour un maximum pour la plus petite racine de f'(x) qui est x1=1/3 (-k -√(k^2-3)) puis décroit et passe par un minimum pour la plus grande racine de f'(x) qui est x1=1/3 (-k +√(k^2-3))  pour croitre ensuite. 

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f’(x)=3*x^2+2*k*x+1 polynôme du second degré qui, lorsque ∆=4*k^2-12=4*(k^2-3))=4*(k+√3)*(k-√3) ≥0, admet des racines. ∆ est aussi un polynôme du second degré en k qui admet deux racines k=-√3 et k=√3 et qui est du signe de k^2 à l'extérieur de ses racines soit ≥0 sur l'intervalle   ]-∞, -√3[ U ]√3, ∞[ .

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