Développement limité

[C8H10N4O2]

Bonjour à tous! 

Voici ce qui me tracasse : je calcule le DL au voisinage de 0 de 1/(e^x -1) .

Étant donné qu'au voisinage de 0 , e^x= 1+ x+ x²/2 + x³/6 + ... , on a :  e^x-1 = x + x²/2 + x³/6 + ...

En effectuant la division de 1 par ce polynôme, j'obtiens la réponse : 1/(e^x-1) = 1/x - 1/2 + x/12 +x.ε(x)

Mais voulant essayer une autre manière de procéder, j'ai considéré que 1/(e^x-1) = 1/(x + x²/2 + x².ε(x) )  =  1/x . 1/(1 + x/2 +...)

En partant du D.L de 1/(1+u) = 1 - u + u² - ... , et en posant u= x/2 , j'ai déterminé que celui de 1/(1 + x/2) était : 1 - x/2 + x²/4 +...

Dès lors, en multipliant par 1/x , j'obtiens le DL suivant pour l'expression de départ : 1/x -  1/2 + x/4 + x.ε(x) , ce qui ne correspond pas à la réponse obtenue par la division polynomiale selon les puissances croissantes... Ma méthode ne fonctionne donc pas !

Si quelqu'un pouvait me dire où je me suis trompé, j'en serais très reconnaissant. 

Bonne soirée à tous

[Invité]

Bonjour,

C'est que dans le développement par composition vous n'avez pas pris assez de termes En prenant u=x/2+x²/6, on obtiendrait

1-(x/2+x²/6)+(x/2+x²/6)² soit, en s'arrêtant au deuxième ordre 1-x/2-x²/6+x²/4 soit 1-x/2+x²/12

C'est le piège avec cette méthode. L'autre est bien meilleure.

[C8H10N4O2]

J'ai compris, merci JLN !

Effectivement en refaisant le calcul avec u = x/2 + x^2/6 , j'obtiens bien le résultat souhaité...

Il est vrai que pour un DL final d'ordre 1, j'aurais pu anticiper de prendre un ordre 2 (au moins) pour ma variable u...

Merci encore !