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Exercice 3 (5,5 points)

Soit (Un) la suite définie par U0=3 et Un+1=(5un+1)/(Un+5) pour tout n superieur ou egal a 0


 1. Étudier les variations de la fonction f définie sur( 0; +∞ ( par f(x)=(5x+1)/(x+5)


 2. a) Dans le plan rapporté à un repère othonormé, on dispose ci-après de la représentation graphique de la fonction f. En laissant apparent les traits de construction, construire en abscisse les quatre premiers termes de la suite (Un) .

b) Que peut-on conjecturer quant au sens de variation et à l’éventuelle convergence de la suite (Un)

3. a) Démontrer, par récurrence, que pour tout n de N, 0 ≤Un+1≤ Un≤3

b) Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (Un) ?

4. Soit (Vn) la suite définie par Vn=(Un-1)/(Un+1)  pour n ≥ 0

a) Montrer que (Vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b) Pour tout n≥0  exprimer Un en fonction de Vn

c) Déterminer la limite de la suite( Vn )puis conclure quant à la limite de (Un)

Exercice 4 (4 points)
Soit (Un) la suite définie par
Un=∑n/(n2+k)=n/(n2+1)+n/(n2+2)+....+n/(n2+n)

1. Quel est le plus petit des n termes de la somme définissant (Un)? Le plus grand ?


2. En déduire un encadrement de (Un)puis lim →+∞ Un
3. On dispose de l’algorithme ci-dessous.

N ←1

S ←0,5

Tant que S > 1,01 ou S < 0,99
 N ←N+1

  S ← 0

  Pour K de 1 à N
 S←S+ ((N)/(N2+K))
 Fin de la boucle Pour

Fin du Tant que

Afficher N

a)  Que fait l’algorithme ci-dessus ? Autrement dit, que représente le nombre obtenu en sortie ? Pourquoi peut-on affirmer que la boucle « tant que » ne tourne pas indéfiniment ?

b) À l’aide de la calculatrice, déterminer le nombre renvoyé par l’algorithme

j ai essayer de faire ces deux exercices mais j ai pas reussi est ce que quelqu un pourrait m aider merci

Modifié par sarah nounette

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1)  Pour étudier les variations de f, il faut obtenir f' et déterminer le signe de f'(x). 

Tu dois trouver : f croissante sur ]-5,+infini[ de -infini à 5 donc pour tout x f(x)<5.

2)

a) f est une branche d'hyperbole .

b) Conjecture (un) tend vers 1, abscisse de l'intersection de la droite y=x et de l'hyperbole de f. 

c) 3 étapes pour la récurrence avec f croissante et f(x)<3 . À rédiger soigneusement en utilisant 1<x<3, alors f(x)<x.

4) Tu calcules vn+1/vn et obtiens, sauf erreur 2/3 pour conclure.  Après calcul de v0 tu peux écrire vn puis un. Ce n'est que du calcul.

La limite exacte de (un) ne pose pas de difficulté.

Au travail.

En fouinant sur Internet, sur que tu trouveras une réponse détaillée prête au copier coller.

 

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Exercice 4 Soit (Un) la suite définie par Un=∑n/(n2+k)=n/(n2+1)+n/(n2+2)+....+n/(n2+n)
1. Quel est le plus petit des n termes de la somme définissant (Un)? Le plus grand ?

-----------
le plus petit est n/(n^2+n) le plus grand n/(n^2+1)
-----------
2. En déduire un encadrement de (Un)puis lim →+∞ Un

-----------
donc  n*(n/(n^2+n)) ≤un≤n*(n/(n^2+1) ==>n^2/(n^2+n) ≤un≤n^2/(n^2+1)
Lorsque n-> ∞ alors n^2>>1 et n^2>>n ==> lim de n^2/(n^2+1)=1 et lim n^2/(n^2+n)=1 ==> Thèorème des gendarmes un->1
-----------
3. On dispose de l’algorithme ci-dessous.
N ←1
S ←0,5
Tant que S > 1,01 ou S < 0,99  N ←N+1
  S ← 0
  Pour K de 1 à N  S←S+ ((N)/(N2+K))  Fin de la boucle Pour
Fin du Tant que
Afficher N
a)  Que fait l’algorithme ci-dessus ? Autrement dit, que représente le nombre obtenu en sortie ? Pourquoi peut-on affirmer que la boucle « tant que » ne tourne pas indéfiniment ?
-----------
Calcule la valeur de n pour telle que la suite un soit comprise entre 0.99 et 1.01
-----------
b) À l’aide de la calculatrice, déterminer le nombre renvoyé par l’algorithme
-----------
1.jpg.e1754aa0b4efd7cc1cf354f90cef7af3.jpg

 

Modifié par Barbidoux
n/(n^2+1) >n/(n^2+n)

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Juste une rectification.

Il y a 3 heures, Barbidoux a dit :

Le plus petit est n/(n^2+1) le plus grand n/(n^2+n)

C'est l'inverse.

Pour la suite, peut-être faut-il préciser qu'on fait la somme de 1 à n des inégalités pour arriver à l'encadrement de Un.

Il y a 8 heures, sarah nounette a dit :

Pourquoi peut-on affirmer que la boucle « tant que » ne tourne pas indéfiniment ?

Revoir à ce propos la définition initiale de la limite d'une série...

3)b) Pour le programme sur la calculette, s'il y a un problème, sarah, précise ton modèle.

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Il y a 8 heures, pzorba75 a dit :

1)  Pour étudier les variations de f, il faut obtenir f' et déterminer le signe de f'(x).

 

 

en faite c est ça mon probleme j arrive pas a obtenir un f' que je puisse etudier ensuite

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f(x)=(5x+1)/(x+5)

f est du type u/v avec u=5x+1 u'=5 et v=x+5 , v'=1. Tu sais ou dois savoir que la dérivée de u/v est (u'v-uv')/v^2.

À toi de reprendre et de faire les calculs, aucune difficulté.

Autre méthode, plus économique en calcul :

5x+1=5(x+5)-24 et f(x)=5-24/(x+5) donc f'(x)=24/(x+5)^2 en appliquant la formule, à connaitre par cœur si f=1/u alors f'=-u'/u^2.

À ce stade de l'année en 1ère, ces deux méthodes sont supposées acquises.

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