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jajajajaja

logarithme 3 terminal S

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bonjour ; j'ai du mal avec cet exercice pouvez-vous m'aider s'il vous plait ? 

Partie I

1.Montrer que pour tout u>-1, ln(1+u) <=  u. (*)(on pourra étudier une fonction)
2.Monter que si x > -1 alors x/(1+x) >  -1.
3.En appliquant l’inégalité (*) à u=-x/(1+x) , monter que pour tout x> -1, ln(1+x) >= x/(x+1). (**)
4.Déduire des inégalités (*) et (**) que pout tout entier naturel k non nul, 1/(k+1) <= ln(k+1)-ln(k) <= 1/k.  

Partie II

Soit (un) définie pour tout entier naturel n non nul par: un= 1/n+1 +1/n+2 + … +1/2n = 1/n+k

1.En appliquant l’inégalité de la partie I à k=n+1,…, n+(n+1), 2n, monter que:
    un+ 1/2n+1 - 1/n+1 <= ln(2n+1) -ln(n+1)<=un.
2. En déduire que pour tout entier naturel n : ln(2n+1/n+1) <= un <= ln(2n+1/n+1) + n/(n+1)(2n+1). 
3. En déduire lim un (n—> +inf).

Partie III

On admet que la suite (un) est croissante.

1.Justifier l’existence d’un rang n0 à partir duquel : ln2 - 0,01 <= un <= ln2.
2.On cherche le plus petit entier naturel n0 tel que pour tout n>=n0,  ln2 - 0,01 <= un <= ln2
    a) pourquoi suffit-il de chercher le plus petit entier n1 tel que, ln2 - 0,01 <= un1 <= ln2 ? 
    b) on a implémenté l’algorithme suivant. Compléter les deux instructions incomplètes: 
(1) La condition d’arret de la boucle « tant que » ;
(2) La formule permettant de définir la somme correspondant à (un).

 

merci d'avance !! :):):) 

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Partie 1
1-------------
soit la jonction f(u)=u-ln(u+1) définie sur ]-1 ∞[
sa dérivée f'(u)=1-1/(u+1) est positive sur l'intervalle de définition de la fonction et la fonction f(u) est croissante. Comme f(0)=0 on en déduit que f(u) ≥0 sur son intervalle de définition ce qui signifie que u-ln(u+1)≥ 0 ==> ln(u+1) ≤ u pour tout u>-1
2-------------
on pose u=x avec x>-1
0>-1
-x≥-x
-x≥-x-1 ==> -x≥-(x+1)
x>-1 ==> 1+x >0 et -x/(1+x)≥-1
3-------------
on pose u=-x/(x+1)
u-ln(u+1)≥0 ==> -x/(x+1)-ln(-x/(x+1)+1)≥0 ==> -ln(1/(x+1))≥x/(x+1) ==> ln(x+1)≥x/(x+1)
4-------------
ln(u+1) ≤ u
on pose u=1/k ==> ln(1/k+1) ≤ 1/k ==> ln((1+k)/k) ≤ 1/k ==> ln(1+k) - ln(k)≤ 1/k
---------
x/(x+1)≤ ln(x+1)
on pose x=1/k ==> (1/k)/(1/k+1)≤ ln(1/k+1) ==>1/(k+1) ≤ ln((k+1)/k)  ==>1/(k+1) ≤ ln(k+1)-ln(k)
et finalement :
1/(k+1) ≤ ln(k+1)-ln(k) ≤ 1/k
-------------------
Partie 2
1-------------
un= 1/(n+1)+1/(n+2)+……….+1/(2*n)
---------
si l'on remplace k par n+1 puis n+1, n+2,…..2*n dans la relation :
1/(k+1) ≤ ln(k+1)-ln(k) ≤ 1/k
on obtient :
1/(n+2) ≤ ln(n+2)-ln(n+1) ≤ 1/(n+1)
1/(n+3) ≤ ln(n+3)-ln(n+2) ≤ 1/(n+2)
………….
1/(2*n+1) ≤ ln(2*n+1)-ln(2*n) ≤ 1/(2*n)
en faisant la somme de ces expressions membre à membre on obtient
1/(n+2) +1/(n+3)+…………. 1/(2*n+1) ≤ln(2*n+1)-ln(n+1)≤ 1/(n+1) +1/(n+2)+…………. 1/(2*n)
un+1/(2*n+1)-1/(n+1)≤ln(2*n+1)-ln(n+1)≤ un
2-------------
un-n/((2*n+1)*(n+1))≤ln((2*n+1)/(n+1))≤ un
dont on déduit :
ln((2*n+1)/(n+1))≤ un≤ln((2*n+1)/(n+1))+n/((2*n+1)*(n+1))
3-------------
Lorsque n->∞ alors :
lim n/((2*n+1)*(n+1))=lim n/(2*n^2)->0
lim ln((2*n+1)/(n+1)) =lim ln(2*n/n) =ln(2) et un -> ln(2)
-------------------
Partie 3
1-------------
La limite de un étant ln(2) la suite étant croissante elle tend vers cette valeur lorsque n->∞ et il existe un rang n tel que ln(2)-0.01≤un≤ln(2)
2a-------------
La suite un étant croissante, si le plus petit entier naturels n0 satisfait la relation  ln(2)-0.01≤un≤ln(2) alors tous les entiers tels que n>n0 la satisfera.

 

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