développement limité

[C8H10N4O2]

Bonjour et bonne année à tous! 

À propos d'un D.L. d'ordre n au voisinage de 0  :  a₀ + a₁x + a₂.x² +...+ a_nxⁿ + xⁿ.ε(x) , je comprends que tout élément a_px^p de la partie polynomiale est un infiniment petit d'ordre p, mais j'aimerais savoir pourquoi on peut dire que le reste xⁿ.ε(x) est un infiniment petit d'ordre supérieur à n. 

Quelqu'un aurait il une idée ? Ça me chagrine de ne pas le comprendre, puisque tout le principe du D.L. repose sur le fait que le reste soit d'un degré supérieur à celui de la partie polynomiale. 

Merci d'avance !

[Invité]

Bonjour C8H10N4O2 et bonne année à vous. 

Citation

j'aimerais savoir pourquoi on peut dire que le reste xⁿ.ε(x) est un infiniment petit d'ordre supérieur à n

Je ne présenterais pas les choses tout à fait comme ça. Pour que  a₀ + a₁x + a₂.x² +...+ a_nxⁿ + xⁿ.ε(x) soit le DL à l'ordre n d'une certaine fonction x->f(x) au voisinage de 0, il faut que xⁿ.ε(x) soit négligeable devant xⁿ, donc soit un infiniment petit d'ordre supérieur à n. 

C'est d'abord une question de définition.

Mais c'est aussi une garantie quant à la précision de l'approximation.

Lorsqu'on effectue des DL de fonctions composées à un ordre un peu élevé, tout l'art consiste d'ailleurs  à bien prendre en compte tous les termes concernés, sans en oublier.

Mais peut-être n'ai-je pas répondu à la vraie question ?

 

[C8H10N4O2]

Merci de cette  réponse, JLN ,

Voici la définition du manuel d'analyse sur lequel je travaille. Le passage qui me pose problème est le suivant : "la condition { ε(x) -> 0 lorsque x-> 0 } fait de xⁿε(x) un infiniment petit d'ordre supérieur à n " 

J'avoue ne pas bien saisir pourquoi...

[Invité]

Un "infiniment petit d'ordre supérieur à n" est  un terme h(x) tel que lim _x->0 h(x)/xⁿ=0. On dit aussi qu'il est négligeable devant xⁿ, et l'on note h(x)=o(xⁿ) (notation de Landau,  désormais plus souvent adoptée dans les livres d'Analyse).

Or ici, h(x)=xⁿε(x)/xⁿ=ε(x) ->0 par hypothèse (définition d'un DL à l'ordre n , cf ce que je disais hier).

xⁿε(x) est donc bien un infiniment petit d'ordre supérieur à n.

[C8H10N4O2]

Il y a 2 heures, JLN a dit :

Un "infiniment petit d'ordre supérieur à n" est  un terme h(x) tel que lim _x->0 h(x)/xⁿ=0.

Je ne comprends pas cette affirmation. Un infiniment petit f (x) d'ordre n au voisinage de a n'est-il pas défini par Lim [ f (x) / (x-a)ⁿ ] = A lorsque x->a, avec A une constante réelle non-nulle ? Le reste du raisonnement, j'ai compris, mais là je bloque...

[Invité]

D'ordre n, oui, on note alors  f(x)=O((x-a)ⁿ), (ce qui signifie que f(x) et (x-a)ⁿ sont du même ordre de grandeur au voisinage de a), mais ici il s'agissait d'ordre supérieur à n au voisinage de 0. Et dans ce cas, f(x) est négligeable devant xⁿ  et le rapport f(x)/xⁿ tend vers 0 quand x-> 0 (en langage imagé, f(x) tend vers 0 beaucoup plus vite que xⁿ  ).

[C8H10N4O2]

Merci, je crois avoir compris !