DM de Mathématique 1ere S

[Semoule54]

Bonjour, je dois rendre pour mercredi un DM de maths mais je ne comprends pas la question 2, ni la suite.

Si qqun peut m’aider ça serait très aimable de sa part.

L’énoncé est en pièce jointe.

[Barbidoux]

2-------------
le vecteur AM{3-m;  1} est un vecteur directeur de sa droite MM' support et f(m) est l'ordonnée de cette droite support de coefficient directeur -1/(m-3) et donc d'équation réduite y=-x/(m-3) +f(m). L'expression de f(m) est déterminée en écrivant que la droite passe par A{3,1} ==> 1=-3/(m-3)+f(m) ==> f(m)=1+3/(m-3)
le graphe de f(m) est celui de la fonction, de référence  1/x  translaté d'un vecteur {3,1}. Cette fonction est donc uniformément décroissante sur son intervalle de définition R-{3}

[Semoule54]

merci pour ta réponse, mais je n’ai pas bien compris. Certains termes que tu as utilisés sont un peu flous pour moi, peut être trop complexe

[C8H10N4O2]

Bonjour, 

Étant donné m différent de 3, la droite (AM) n'est pas verticale et admet donc une équation de la forme : y = ax + b, avec "a" sa pente et "b" son ordonnée à l'origine. 

Sa pente est le rapport de la différence des ordonnées de A et M sur celle de leurs abscisses. Avec A (3;1) et M (m;0), cela donne : a = (0-1) / (m-3) , donc a = -1 / m-3 .

L'ordonnée à l'origine nous est donnée : b = f(m) . La droite (AM) a donc pour équation : y = (-1/m-3) .x + f(m).

Le point A appartenant à cette droite, ses coordonnées en vérifient l'équation : y_A = a.x_A + b, donc b = y_A - a.x_A 

En remplaçant "a" et "b" par les valeurs déterminées plus haut : f(m) = 1 - [(-1 × 3)/m-3] , ce qui donne bien : f(m) = 1 + (3/m-3)

Pour ce qui est des variations de f, il s'agit de se donner deux réels a et b tels que a <b , de sorte que les antécédents croissent, et d'étudier la manière dont évoluent leurs images par f. Autrement dit, on pose a <b et on cherche à savoir si cela entraîne f(a) < f(b), auquel cas les images croissent aussi et on dit que la fonction est croissante, ou si cela entraîne f(a) > f(b), la fonction étant alors décroissante. 

Le plus simple est de procéder par encadrements successifs. Tu pars de a <b et tu modifies pas à pas l'inégalité pour arriver à comparer f(a) et f(b) en respectant les règles sur les inégalités bien sûr. 

Ici cela donne : a <b <=> a-3 < b-3 . Pour le passage à l'inverse, on ne peut procéder que si les expressions sont de même signe. On va donc distinguer deux cas en se plaçant d'abord dans ]-∞; 3 [ , puis dans ]3; +∞ [ . (Dans les faits, ça ne changera rien au résultat final, mais c'est une précision importante).

On a donc : 1/ a-3 > 1/b-3 , puis 3/a-3 > 3/b-3 et enfin [1+ (3/a-3)] > [1 + (3/b-3)] , ce qui signifie f(a) > f (b). La fonction est donc décroissante sur son ensemble de définition. 

[C8H10N4O2]

Pour répondre précisément à la question 2/ : M appartenant à la droite ( AM ),  ses coordonnées en vérifient l'équation : y_M = a.x_M + b , or x_M = m et y_M = 0. 

On a donc : 0 = [(-1/m-3) × m] + f(m) , d'où : f(m) = m / m-3