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Misawa

Devoir Maison Expo TS

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Je t'ai préparé sur tableur un tableau dans lequel on donne à n des valeurs de plus en plus grande 100, 1000, 106 etc et on calcule l'expression (1-1/n)correspondante.

Tu vas y voir que cette expression prend des valeurs successives qui très vite se rapprochent de 2,71828.... qui est une valeur approchée du nombre e.

EB MISAWA.xlsx

Fin de l'exercice 1 !!

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il y a 52 minutes, PAVE a dit :

NON. A gauche c'est 0, à droite cela tend vers 0 donc ce qui est entre les deux se trouve "écrabouillé" entre 0 et ... presque 0. Donc ce qui est au milieu tend nécessairement vers 0....

Il y a un théorème qui affirme cela. Si Pzorba lit ce message, il connait peut-être ce théorème... je dirais le th des gendarmes mais je n'en suis pas sûr n'ayant jamais enseigné ce type de cours !!

Donc puisque

0<= e-(1+1/n)n<= e/n et que e/n tend vers 0 quand n tend vers +oo

lim(n tend vers +oo) de [e - (1-1/n)n ]= 0

quand n tend vers +oo la différence [e - (1-1/n)n ] tend vers 0, c'est donc que (1-1/n)n tend vers e.

CQFD

 

C'est  [e - (1-1/n)n ] ou  [e - (1+1/n)n ] ?? @PAVE

Je ne comprends pas votre formulation : "quand n tend vers +oo la différence [e - (1-1/n)n ] tend vers 0, c'est donc que (1-1/n)n tend vers e."

Modifié par Misawa

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Exercice 2:

1) réponses exactes

2) établir la formules dites "des intérêts composés"... par récurrence.

Avant de faire la démonstration par récurrence, il me semblerait intéressant de comprendre le processus du calcul de Cn

C'est pour cela que j'avais complété  ce que tu avais écrit à la question 1). Je t'invite à relire cela.

C1 =C0+C0*t = C0*(1+t)  donc aussi C1=  C0*(1+t)1 

C2 = C1 +C1*t = C1* (1+t) donc aussi C2 = [C0*(1+t)]*(1+t) = C0*(1+t)²

C3 = C2+C2*t = C2*(1+t) donc aussi C3 = [C0*(1+t)²]*(1+t) = C0*(1+t)³

etc.

Cn = C(n-1) +C(n-1)*t = C(n-1)*(1+t) cette formule permet de calculer Cn SI on connait C(n-1)  et aussi  sur le modèle des lignes précédentes Cn = C0 *(1+t)n

Cette dernière formule (dite des intérêts composés) est plus pratique que la précédente puisqu'il suffit de connaitre le capital placé C0 (et t bien sûr) pour calculer Cn

Essaye de faire le calcul de la question suivante pour voir l'intér^t de cette formule !!

Citation

C'est  [e - (1-1/n)n ] ou  [e - (1+1/n)n ] ??

Mon doigt fatigue et il a dérapé... mes excuses. C'est bien sûr (1+1/n) mais tu aurais pu le deviner... non ?

La peste soit des fusions des réponses trop successives....

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il y a 6 minutes, PAVE a dit :

Mon doigt fatigue et il a dérapé... mes excuses. C'est bien sûr (1+1/n) mais tu aurais pu le deviner... non ?

Oui mais c'était pour être sûr ! Merci @PAVE

il y a 6 minutes, PAVE a dit :

Exercice 2:

1) réponses exactes

2) établir la formules dites "des intérêts composés"... par récurrence.

Avant de faire la démonstration par récurrence, il me semblerait intéressant de comprendre le processus du calcul de Cn

C'est pour cela que j'avais complété  ce que tu avais écrit à la question 1). Je t'invite à relire cela.

C1 =C0+C0*t = C0*(1+t)  donc aussi C1=  C0*(1+t)1 

C2 = C1 +C1*t = C1* (1+t) donc aussi C2 = [C0*(1+t)]*(1+t) = C0*(1+t)²

C3 = C2+C2*t = C2*(1+t) donc aussi C3 = [C0*(1+t)²]*(1+t) = C0*(1+t)³

etc.

Cn = C(n-1) +C(n-1)*t = C(n-1)*(1+t) cette formule permet de calculer Cn SI on connait C(n-1)  et aussi  sur le modèle des lignes précédentes Cn = C0 *(1+t)n

Cette dernière formule (dite des intérêts composés) est plus pratique que la précédente puisqu'il suffit de connaitre le capital placé C0 (et t bien sûr) pour calculer Cn

Essaye de faire le calcul de la question suivante pour voir l'intér^t de cette formule !!

En ce qui concerne la question 2,  vous avez prouver par récurrence ou pas? 

Modifié par Misawa

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Exo 1

"quand n tend vers +oo la différence [e - (1+1/n)n ] tend vers 0, c'est donc que (1+1/n)n tend vers e." (j'ai rectifié les signes !!)

Quand la distance entre le mur et la voiture qui recule tend vers 0, c'est que la voiture se rapproche du mur !!

Exo 2 

"En ce qui concerne la question 2,  vous avez prouver par récurrence ou pas? 

Non. As tu vu d'où vient la formule Cn = (1+t)n ?

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il y a 3 minutes, PAVE a dit :

Exo 2 

"En ce qui concerne la question 2,  vous avez prouver par récurrence ou pas? 

Non. As tu vu d'où vient la formule Cn = (1+t)n ?

Oui oui @PAVE

5a240e5f4f0d4_dmexo16).thumb.jpg.b60c2da608f67fd72bca68efed574d7c.jpg

Est ce que c'est juste? J'ai recopié ce que vous m'avez dit en écriture manuscrite, il y a peut-être des erreurs de recopiage, @PAVE

PS: Exo 1, question 6.

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Oui c'est correct. J'espère qu'en recopiant, tu as à peu près COMPRIS ce que j'avais fait.... sinon tu auras une bonne note mais cela n'aura aucune valeur car au prochain devoir tu ne sauras toujours pas faire !!

Exo 2

Si tu as compris comment de proche en proche, marche après marche, j'ai établi la formule des intérêts composés, je te propose de laisser de côté pour l'instant la démonstration rigoureuse par récurrence et de traiter tout de suite la question 3.

A toi

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il y a 52 minutes, Misawa a dit :

Donc pour la question 3):

Cn = C0 *(1+t)n

C25 = 1000 * (1+0,05)25

C25 = 3386,35 €

Je crois bien que c'est cela :) @PAVE

Oui c'est cela.

Tu vois l'intérêt de cette formule qui permet de calculer C25 sans avoir à calculer au préalable C1, C2, C3.... C22, C23 et C24

As tu remarqué que pour augmenter une grandeur de 5 % (5/100), il suffit de multiplier cette grandeur par le coefficient multiplicatif 1,05 (= 1+5/100)

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Pour la 4):   n = 4 ;   t =0,05         0,05/4 = 0,0125

C= 1000 * (1+0,0125)

C= 1012,5€

C= 1012,5 * 1,0125

C= 1025,16€

C= 1025,16 * 1,0125

C= 1037,97€

C= 1037,97 * 1,0125

C= 1050,94€

1050,94€ si versement est trimestriel. 

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Question 4

Moi, je trouve C1 = 1050,95 € (petit pb d'arrondi ?)

Je n'ai pas fait comme toi qui calcule c1 (et non pas c0 car c0 = 1000), c2, c3 et c4 = C1

NB : La valeur acquise par C0 à la fin du quatrième trimestre c4 est égale à la valeur acquise à la fin de l'année. Comme on te l'explique dans l'énoncé, on n'obtient pas tout a fait la même valeur qu'avec un taux annuel.

Ma méthode (avec la formule des intérêts composés

C1 = c4 = C0*(1+t/4)4 = 1000*( 1+0,05/4)4= 1050,945337:environ:1050,95 (puisque la première décimale que je supprime est 5 donc valeur approchée par excès...°

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Question 5

Simple jonglage avec les lettres...

Si k périodes, le taux "proportionnel" est t/k.

Une année c'est k périodes donc C1 = C0*(1+t/k)k

Question 6

Si m= k/t alors t/k = 1/m et k= mt

Dans la formule obtenue en 5) on remplace t/k par 1/m et k (exposant) par mt

On obtient 

C1 = C0*(1+1/m)mt or rappel : am*n = (am)n propriété des puissances;;;)

C1 = C0*[(1+1/m)m]

CQFD

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Oui en effet j'ai refait les calculs j'obtiens 1050,95€

Merci bien pour les questions 5 et 6 @PAVE

Du coup la récurrence, on l'aura sauter

Modifié par Misawa

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Question 7

Si la durée d'une période tend vers zéro, le nombre k de périodes dans l'année tend vers l'infini et m qui est égal à k/t tend aussi vers l'infini puisque t est un nombre fini (taux annuel)

On a vu question 6 de l'exercice 1 que quand m tend vers l'infini, (1+1/m)m tend vers e !

donc quand k tend avec m vers +oo, on peut remplacer dans la formule obtenue en 6 

(1+1/m)par e. CQFD

Fin de l'exercice.

Reste la récurrence... si tu n'es pas épuisé :D

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Alors si ton prof est un peu surpris de ta performance, ne lui raconte pas des "salades". Dis lui que quelqu'un t'a ... un peu aidé !!!

Question 2 la récurrence

Citation

C1 =C0+C0*t = C0*(1+t)  donc aussi C1=  C0*(1+t)1 

C2 = C1 +C1*t = C1* (1+t) donc aussi C2 = [C0*(1+t)]*(1+t) = C0*(1+t)²

C3 = C2+C2*t = C2*(1+t) donc aussi C3 = [C0*(1+t)²]*(1+t) = C0*(1+t)³

etc.

C'est dans ce "etc." que j'ai fait une généralisation (sans la démontrer) de ce que j'ai pu observer dans l'étude des 3 premiers cas !

J'aurais pu faire l'étape suivante pour n = 4, mais si j'ai bien observé les 3 premiers résultats, il est plus que probable que je vais obtenir C4 = C0*(1+t)4

idem pour n= 5 puis n= 6 etc. J'ai admis que la formule était vraie pour tout n>=1. 

D'où la formule générale :

sur le modèle des lignes précédentes Cn = C0 *(1+t)n

Cette dernière formule (dite des intérêts composés) est plus pratique que la précédente puisqu'il suffit de connaitre le capital placé C0 (et t bien sûr) pour calculer Cn

 

Si on formalise la démonstration cela pourrait donner cela (démonstration par récurrence). Adapte au modèle donné dans le cours par ton prof.

5a243ba465355_EBintcomprcurrence.png.f7ddeb78d479b67ba294ed0c65f2314c.png

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Il y a 2 heures, PAVE a dit :

Question 5

Simple jonglage avec les lettres...

Si k périodes, le taux "proportionnel" est t/k.

Une année c'est k périodes donc C1 = C0*(1+t/k)k

Il n'y a pas plus de détails en ce qui concerne cette question ?  @PAVE

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Que veux tu dire de plus ?

La formule dite des intérêts composés s'applique et c'est tout.

Si l'année est partagée en 12 mois par exemple, le taux proportionnel est t/12. Pour savoir ce qu'est devenu le capital placé au bout d'un an donc au bout de 12 périodes (12 mois), on applique la formule... C1 = c12 = C0 *(1+taux mensuel)nbre de mois

L'année dans cette question est partagée en k périodes ; le taux relatif à une période est t/k. Au bout d'un an (donc k périodes) la valeur C1 acquise par le capital placé C0 est donc C1 = (c12) =C0*(1+t/k)k

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Oui d'accord merci pour tout, j'ai tout recopié au propre et j'ai plutôt bien compris dans l'ensemble, je vous souhaite une bonne fin de soirée.
Je vous tiendrais au courant du résultat! @PAVE

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