Les suites par récurrence

[Grace]

Bonjours, j'ai un devoir maison que je dois rendre très prochainement mais je bloque totalement. Alors j'aimerais vraiment qu'on puisse m'éclaircir les idées afin de pouvoir enfin finir ce dm. Merci d'avance 

Voici l'énoncé :

On considère la suite (Un) définie par Uo=0 et pour tout entier naturel n, Un+1=Un^2+1.

Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n >(plus grand ou égale à)4 , Un>(plus grand ou égale à) 2^n

Voilà merci d'avance pour votre compréhension!!   

[pzorba75]

Essaie d'utiliser les boutons de mise en forme des indices X_n et des exposants Xⁿ et pour "plus grand ou égal à" taper >=.

[pzorba75]

u₄=26 u₄>2⁴. La proposition est initialisée au rang 4.

u_n>2ⁿ

u_n+1=(u_n)²+1=u²ⁿ+1 or u²ⁿ>2ⁿ⁺¹, la proposition est héréditaire.

À toi de rédiger et de conclure.

[Grace]

il y a 32 minutes, Grace a dit :

Bonjours, j'ai un devoir maison que je dois rendre très prochainement mais je bloque totalement. Alors j'aimerais vraiment qu'on puisse m'éclaircir les idées afin de pouvoir enfin finir ce dm. Merci d'avance 

Voici l'énoncé :

On considère la suite (Un) définie par Uo=0 et pour tout entier naturel n, Un+1=Un+1.

Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n4 , Un2^n

Voilà merci d'avance pour votre compréhension!!   

 

[Grace]

il y a 3 minutes, pzorba75 a dit :

u₄=26 u₄>2⁴. La proposition est initialisée au rang 4.

u_n>2ⁿ

u_n+1=(u_n)²+1=u²ⁿ+1 or u²ⁿ>2ⁿ⁺¹, la proposition est héréditaire.

À toi de rédiger et de conclure.

Alors j'ai compris la partie d'initialisation en revanche je ne comprends pas l'hérédité . 

Merci pour vos explications en tout cas !

[julesx]

En fait, le problème vient d'un u qui s'est malencontreusement substitué à un 2 (u²ⁿ au lieu de 2²ⁿ).

Moi, j'aurais raisonné ainsi

u_n>2ⁿ => (un)²>2²ⁿ => (un)²+1>2²ⁿ+1

Reste à montrer que 2²ⁿ+1>2ⁿ⁺¹ soit 2²ⁿ+1-2ⁿ⁺¹>0

Or 2²ⁿ+1-2ⁿ⁺¹=2²ⁿ+1-2*2ⁿ=(2ⁿ-1)² qui est bien positif (0 est exclu puisque n est supérieur ou égal à 4).

Conclusion,  u_n+1>2ⁿ⁺¹, l'hérédité est vérifiée.

 

[Grace]

Bonjour,

Désolé de répondre si tardivement.

Déjà, merci de m'avoir éclaircit les idées je commence à comprendre. Le seule petit problème, c'est que ma prof de maths m'as donné une solution qui n'est pas tout a fait la même. 

Voici son idée :

Un+1=Un+1 (d'après l'énoncé)

Un+1>2^n +1 (hypothèse de récurrence)

A ce moment là elle propose de comparer : 2^n +1 - 2^n+1>0

j'ai donc calculé et j'ai trouver 2>0

Donc est ce normale sachant que je ne trouve pas le même résultat que vous ?

Et que dois-je faire avec ce résultat ?

 

 

 

 

[pzorba75]

Ton dernier message est incompréhensible, utilise les boutons de mise en forme des indices X₂ et exposants X², sinon tu perds ton temps et ceux qui peuvent t'aider n'ont pas de temps à perdre non plus!

[Grace]

Je n'y arrive pas..

[Grace]

Il y a 8 heures, pzorba75 a dit :

Ton dernier message est incompréhensible, utilise les boutons de mise en forme des indices X₂ et exposants X², sinon tu perds ton temps et ceux qui peuvent t'aider n'ont pas de temps à perdre non plus!

Je n'y arrive pas

[pzorba75]

Regarde et essaie d'utiliser les boutons (ou icônes) au dessus du texte quand tu tapes un message. 

[Grace]

Il y a 20 heures, Grace a dit :

Bonjour, j'ai tant bien que mal essayer d'être le + compréhensible possible..!

Désolé de répondre si tardivement.

Déjà, merci de m'avoir éclaircit les idées je commence à comprendre. Le seule petit problème, c'est que ma prof de maths m'as donné une solution qui n'est pas tout a fait la même. 

Voici son idée :

Un+1=Un+1 (d'après l'énoncé)

Un+1>2(puissance n)+1 (d'après l'hypothèse de récurrence)

A ce moment là elle propose de comparer : 2(puissance n)+1 - 2(puissance n+1)>0

j'ai donc calculé et j'ai trouver 2

Donc est ce normale sachant que je ne trouve pas le même résultat que vous ?

Et que dois-je faire avec ce résultat ?

Désolé, étant connecté sur ce forum Avec mon téléphone c'est peut être pour cela que je ne peux écrire en écriture mathématiques. Mais si cela vous cause problème laisser tomber je me débrouillerais seule! 

En revanche, merci d'avoir pris le temps de me répondre et merci beaucoup de vos conseil!!!!! 

 

 

 

[Grace]

Peut être plus compréhensible en photo

[julesx]

Si on repart du début :

Hypothèse de récurrence U_n≥2ⁿ => U_n²≥(2ⁿ)² soit U_n²≥2²ⁿ.

D'après l'énoncé, U_n+1=U_n²+1, ce qui, compte tenu de la ligne précédente, donne U_n+1≥2²ⁿ+1

On suggère alors de comparer 2²ⁿ+1 et 2ⁿ⁺¹.

Or 2²ⁿ+1-2ⁿ⁺¹=2²ⁿ+1-2*2ⁿ=(2ⁿ-1)² qui est toujours positif ou nul, donc 2²ⁿ+1-2ⁿ⁺¹≥0.

Il s'ensuit que 2²ⁿ+1≥2^n+1.

La proposition est héréditaire.

 

 

[Grace]

Ah d'accord très bien j'ai enfin compris !! 

Merci beaucoup de votre aide vraiment