Bloqué sur une question

[Blanchon]

Bonjour, bonsoir,

Je suis actuellement bloqué sur la dernière question de mon exercice, je ne vois pas du tout comment résoudre cela.

Voici l'énoncé :

On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur est 12dm³ ( voir figure )

1. Déduire de l'information relative au volume une expression de h en fonction de x.

https://www.noelshack.com/2017-11-1489918116-forum-166889-1.jpg

2. Montrer que l'aire totale de la citerne ( c'est à dire la somme des aires des six faces ) s'écrit en fonction de x :

       S(x) = 6x + 8 + 24/x

3. Etudier les variations de la fonction S définie sur [0.5 ; 4]. En déduire les valeurs de x et de h correspondant à une aire minimale.

 

Voici mes réponses : 

1. Volume = 3*x*h                                  Volume = 12 dm³

           12/h = 3x

             h = 12/3x = 4/x

 

2. S(x) = 2hx + 6h + 6x         ( on additionne l'aire de toute les faces et on remplace "x" par (4/x).

    S(x) = 2*(4/x)*x + 6*(4/x) + 6x

   S(x) = 6x + 8 + 24/x

 

3. S(x) = 6x + 8 + 24/x

           = 6 - 24/x^²

              = (6x² - 24)  / x²      ( tous sur le même dénominateur )

Après cela, je suis bloqué, je ne sais pas quoi faire, donc si vous pouviez m'aider, je vous serais très reconnaissant ! Merci d'avance ! 

    

[PAVE]

Citation

3. S(x) = 6x + 8 + 24/x

    S'(x)       = 6 - 24/x^²  c'est bien sûr la dérivée

              = (6x² - 24)  / x²

Il te faut étudier le SIGNE de cette dérivée.

Cette dérivée est un quotient : pour étudier son signe, on étudie le signe du numérateur puis celui du dénominateur (facile) puis on en déduit le signe du quotient.

(Tes réponses sont exactes).

[Blanchon]

Si je comprends bien :

j'étudies le signe de :

 6x² - 24 = 0

        6x² = 24

          x² = 24 / 6

          x² = 4

          x = 2

Le signe du dénominateur ( x² ) est forcément positif comme c'est une fonction au carré, mais possède une valeur interdite qui est 0 mais cette valeur n'est pas dans l'intervalle donc aucun soucis avec.

Voici mon tableau :

https://www.noelshack.com/2017-11-1489926126-tableau.png

[PAVE]

Ton tableau me semble très ambigu ! Je l'ai complété mais fais très attention car tu as tendance à mélanger fonction S et fonction dérivée S', signe de la dérivée et sens de variation de la fonction.

Encore une remarque : il est dangereux d'écrire sans précaution  comme tu l'as fait :

Citation

  x² = 4

          x = 2

Si x²= 4 alors x= -2 ou x= 2 (sur IR) Il ne faut pas oublier la valeur négative, quitte à dire ensuite que -2 n'appartient pas à l'intervalle I = {0,5; 4} donc que sur I la seule solution est +2....

[Blanchon]

Merci bien ! 

Mais je ne vois pas comment : 

En déduire les valeurs de x et de h correspondant à une aire minimale.

 

[PAVE]

Si tu regardes le tableau de variation de S, tu vois bien que l'aire est minimale pour x = 2 dm !!! 

Pour trouver h revois la première question