Équation du second degré/le nombre dérivé

[clairejugie]

Bonjour, 

j'aimerais aider ma petite fille qui est en première  pour son devoir mais je n'y comprend pas grand chose (c'est loin pour moi les maths !)
Pouvez-vous m'aider à trouver les réponses aux questions comme sa je pourrais aider ma petite fille sans pour autant lui donner les réponses directement ! Elle a vraiment besoin d'aide... Elle n'a pas internet pour le moment j'en profite donc pour chercher de l'aide ! c'est la fin de l'année en plus alors elle espère vraiment avoir une note correct en maths.

Voilà le sujet du devoir : 
Une société d’événementiel doit préparer un hall d'exposition pour un concessionnaire automobile. Le concessionnaire souhaite avoir un espace central rectangulaire avec un style de revêtement rouge et une bande autour de ce rectangle avec un revêtement noir. 
Il désire que la bande sur la largeur soit 1 mètre  plus large que la bande sur la longueur.                                         le schéma de ce hall est donné ci-joint : 

Calcul d'aire : 
1. Calculer l'aire A de la surface totale du hall d'exposition.
2. Exprimer l'aire A1 de la surface 1 à revêtir en fonction de x. Calculer l'aire pour x = 2 cm.
3.Exprimer l'aire A2 de la surface 2 à revêtir en fonction de x. Calculer l'aire pour x = 2 cm.
4. Pour x = 2 cm, vérifier que A1 + A2 = A

 

Modélisation sous forme de fonction :
Soient f et g définies sur [0,5 ; 15] par f(x) = 4x² - 96x + 560 et g(x) = -4x² + 96x + 40
On veut savoir pour quelle(s) valeur(s) de x on a f(x) = 0 et g(x) = 0.
1. Résoudre f(x) = 0 sur [0,5 ; 15] en utilisant le calcul du discriminant.
2. Résoudre g(x) = 0 sur [0,5 ; 15] en utilisant la calculette ou le discriminant.
3. Calculer g(10) et g(14) et expliquer le résultat obtenu.
 

Les fonctions f (relative à l’aire 1) et g (relative à l’aire 2) sont représentées ci-joint: 
4. Pour quelle valeur de x les deux aires sont-elles identiques ? Utiliser les courbes.
5. Résoudre f(x) = g(x) sur [0,5 ; 15]. Vérifier la solution avec la valeur du 4). Utiliser la calculette ou le discriminant.

Dimensions finales : 
Pour les résolutions, utiliser la méthode de votre choix (calculette ou discriminant). Le concessionnaire veut que la surface 2 ne dépasse pas un tiers de la surface totale et soit d’au moins 100 m².

6. Donner un encadrement des valeurs de l’aire 2.
7. En utilisant les courbes et sans justifier, donner un encadrement des valeurs de x.
8. Résoudre algébriquement g(x) ≤ 200 puis g(x) ≥ 100 puis résoudre 100 ≤ g(x) ≤ 200. Le concessionnaire décide que la surface d’exposition (surface 1) aura une aire de 450 m².
9. Déterminer algébriquement la valeur de x puis calculer de deux façons la surface 2.
10. Conclure en indiquant les dimensions de la surface d’exposition à 0,1 m près.

 

 

 

[pzorba75]

As-u fait les premières questions?

Si tu attends les réponses tout prêtes pour faire un copier coller dans le téléphone de ton professeur, tu n'es pas au bon endroit. Chercher de l'aide suppose que tu as commencé à travailler et alors celui qui aidera vérifiera en corrigeant si besoin, mais il ne fera pas ton travail à l'oeil. Sauf sur des sites payants qu'il faut alimenter avec ta carte bleue. 

[Denis CAMUS]

Bonjour,

Pour commencer

 

Il y a 2 heures, clairejugie a dit :

                                       le schéma de ce hall est donné ci-joint : 

Calcul d'aire : 
1. Calculer l'aire A de la surface totale du hall d'exposition.

Longueur * largeur, pas de problème je pense

2. Exprimer l'aire A1 de la surface 1 à revêtir en fonction de x. Calculer l'aire pour x = 2 cm.

Longueur * largeur

Longueur = 30 - 2 * (x+1)

Largeur = 20 - 2x

Calcul avec x=2cm : (attention aux unités)

Longueur = 30-2( 0,02+1)

Largeur = 20 - 2*0,02

3.Exprimer l'aire A2 de la surface 2 à revêtir en fonction de x. Calculer l'aire pour x = 2 cm.

On peut soustraire A1 de la surface totale pour obtenir A2.

Conseil : dans les exercices à plusieurs parties, bien lire l'énoncé en entier avant de commencer. Ainsi, les deux expressions à calculer ici en fonction de x, se retrouvent au début de la partie II.

4. Pour x = 2 cm, vérifier que A1 + A2 = A2.

Vu que j'ai utilisé une méthode de feignant pour calculer A2, au lieu de la décomposer en 4 bandes différentes, ce résultat à trouver est évident.

Modélisation sous forme de fonction :
Soient f et g définies sur [0,5 ; 15] par f(x) = 4x² - 96x + 560 et g(x) = -4x² + 96x + 40

Qu'est-ce que je disais ?
On veut savoir pour quelle(s) valeur(s) de x on a f(x) = 0 et g(x) = 0.
1. Résoudre f(x) = 0 sur [0,5 ; 15] en utilisant le calcul du discriminant. Résultat : x=10 et x=14
2. Résoudre g(x) = 0 sur [0,5 ; 15] en utilisant la calculette ou le discriminant. Le graphique donne une idée du résultat
3. Calculer g(10) et g(14) et expliquer le résultat obtenu.
 

Les fonctions f (relative à l’aire 1) et g (relative à l’aire 2) sont représentées ci-joint: confirmation de ma remarque.
4. Pour quelle valeur de x les deux aires sont-elles identiques ? Utiliser les courbes. point d'intersection.
5. Résoudre f(x) = g(x) sur [0,5 ; 15]. Vérifier la solution avec la valeur du 4). Utiliser la calculette ou le discriminant.

Egaliser les deux expressions.

 

[clairejugie]

Merci a Denis Camus d'avoir pris le temps de me répondre. A présent je vais mieux pouvoir aider ma petite fille ! 

 

[clairejugie]

Pour la modélisation en forme de fonction j'ai du mal à comprendre comment résoudre les fonctions et le terme "calcul du discriminant" ne me dit rien du tout pouvez-vous m'expliquer en détail s'il vous plaît ? 

[Denis CAMUS]

Ce doit être dans le cours de votre petite fille dans la résolution des équations du second degré.

Elles sont de la forme : y = a*x² + b*x + c ou a, b, c sont les coefficients qui multiplient x², x et il reste le nombre final. Dans 4x² - 96x + 560,

a = 4

b = -96 et c = 560.

Le discriminant est le nombre obtenu en calculant la racine de b² - 4*a*c.

Selon le signe du discriminant, il y a 0, 1 ou deux valeurs de x qui sont solutions de l'équation.

[clairejugie]

Merci beaucoup vos explications sont très claire et très compréhensible. Ma petite fille à réussi à tout faire pour l'instant ! 

[clairejugie]

Pouvez-vous s'il vous plaît nous aider pour les dimensions finales ? Nous cherchons dans sont cours les éléments appropriés mais il n'y a pas d'exemple concret c'est pour cela que nous avons du mal à comprendre l'exercice demandé.
Merci de votre compréhension.

[Denis CAMUS]

Dimensions finales : 
Pour les résolutions, utiliser la méthode de votre choix (calculette ou discriminant). Le concessionnaire veut que la surface 2 ne dépasse pas un tiers de la surface totale et soit d’au moins 100 m².

6. Donner un encadrement des valeurs de l’aire 2.

Minimum< aire 2 < 1/3 aire totale

Quel est le minimum d'après l'énoncé ?

Que vaut le 1/3 de l'aire totale ?

7. En utilisant les courbes et sans justifier, donner un encadrement des valeurs de x.

Sur le graphique et sur la courbe g, se placer au point ou l'aire est minimale et lire sur l'axe des x la valeur de x correspondante.

Pareil pour l'aire maximale.

8. Résoudre algébriquement g(x) ≤ 200 puis g(x) ≥ 100 puis résoudre 100 ≤ g(x) ≤ 200. (Là, ça donne in indice pour les questions qui précèdent).

g(x) ≤  200 === > = -4x² + 96x + 40 ≤ 200 === > -4x² + 96x -160  ≤ 0

g(x) ≥ 100 === > = -4x² + 96x + 40 ≥ 100 === > -4x² + 96x -60  ≥ 0

Trouver les 4 racines (2 par équation) puis faire un tableau de signes pour chaque.

 

Le concessionnaire décide que la surface d’exposition (surface 1) aura une aire de 450 m².
9. Déterminer algébriquement la valeur de x puis calculer de deux façons la surface 2.

Résoudre 4x² - 96x + 560 =450 === > 4x² - 96x + 110   = 0

Vérifier que le résultat est bien entre le mini et le maxi.

Pour les deux manières :

• soustraire S1 de l'aire totale
• Calculer S2 avec le résultat trouvé ci-dessus.

10. Conclure en indiquant les dimensions de la surface d’exposition à 0,1 m près.

Ayant x, donner les dimensions du rectangle S1.

[clairejugie]

Merci de votre réponse cela nous sert énormément pour la réalisation du devoir de ma petite fille mais surtout elle arrive à comprendre toute seul !  Pourriez-vous nous aidez un peu plus pour les questions 8 et 9 s'il vous plaît, car les résolutions d'équations ne sont pas encore comprise malheureusement.... 
Merci encore de votre aide et de votre soutien 

[Denis CAMUS]

8)

-4x² + 96x -160  ≤ 0

Il faut calculer les racines. Ensuite, l'expression est du signe du coefficient a (donc négatif ici puisque a= -4) en dehors de l'intervalle situé entre les racines.

Si les racines sont x1 et x2, le tableau de signes se présentera ainsi :

x ......... [ -oo.......................x1.............................x2..................................+oo

-------------------------------------------------------------------------------------------------

g < 200 |.......... - ................................ + ................................ - ..................

Mais comme dans l'exercice, x est compris entre 0 et 15, le tableau devient :

x ......... [ 0.......................x1.......................15

-------------------------------------------------------------------------------------------------

g < 200 |.......... - ................................ + ....

La deuxième valeur, ici est >15, donc ne compte pas, mais a été utile pour situer le signe - et + de l'expression.

La réponse à la première partie de la question 8 est donc : g(x) ≤  200 ou -4x² + 96x -160  ≤ 0  pour 0 <x < x1.

 

Pour la deuxième expression -4x² + 96x -60  ≥ 0  il faut faire pareil, mais les racines sont évidemment différentes.

Pour le calcul des racines, quelle méthode a été donnée dans le cours ?

[clairejugie]

Dans son cours voici la méthode pour calculer les racines. Mais je vous avoue que nous n'avons pas compris l'essentiel. 

REGLE PRATIQUE
1. Ecrire le nombre dont on veut extraire la racine comme le dividende d'une division.
2. Séparer en tranches de deux chiffres à partir de la droite ; la dernière tranche à gauche peut n'avoir qu'un chiffre.
3. Extraire la racine de la première tranche à gauche ; on obtient ainsi le premier chiffre de la racine cherchée qu'on écrit à la place du diviseur habituel.
4. Retrancher le carré de ce nombre d'un chiffre de la première tranche à gauche.
5. Abaisser à droite du résultat de la soustraction précédente (premier reste partiel), la tranche suivante.
6. Séparer dans le nombre obtenu le dernier chiffre à droite et diviser le nombre restant par le double du nombre d'un chiffre écrit à la place du diviseur ; on écrit le double de ce nombre à la place du quotient.
7. Si le quotient est inférieur à 10 l'essayer, sinon commencer par essayer 9 ; l'essai se fait en écrivant ce quotient à droite du double de la racine de la première tranche et en multipliant le nombre obtenu par le quotient considéré. Si le produit peut être retranché du nombre formé au 5, le quotient convient, sinon on essaie un nombre inférieur jusqu'à ce que la soustraction soit possible.
8. Le résultat de la soustraction est le deuxième reste partiel. Ecrire le nombre essayé à droite du premier chiffre écrit à la place du diviseur.
9. Recommencer avec le deuxième reste partiel comme avec le premier et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on ait utilisé toutes les tranches. Le dernier reste partiel est le reste de la racine carrée.

nous avons quand même réussit à faire les exercices ci-dessus.
Pour la suite il s'agit de l'étude du coût de stockage.

Étude du coût de stockage
Le concessionnaire fait une étude sur le coût de stockage journalier de son parc automobile.
Le service comptabilité détermine que pour un nombre n de véhicules le coût de stockage CS en € est : CS(n) = 0,02n² - n + 1 000 pour un nombre de véhicules compris entre 0 et 100.
1. Calculer le coût de stockage pour 0 véhicule. À quoi correspond la somme obtenue ? La courbe CS représentative du coût de stockage sur [0 ; 100] est donnée en annexe 1.
2. Tracer les tangentes T1 et T2 à CS aux points A et B d’abscisses respectives 20 et 30. T1 passe par A et par C(60 ; 980) ; T2 passe par B et par D(90 ; 1 000).
3. Déterminer les coefficients directeurs de T1 et T2. En déduire les nombres dérivés CS ’(20) et CS ’(30). Indiquer la variation de CS(n) aux points d’abscisses 20 et 30.
4. D’après les résultats précédents, peut-on affirmer que la fonction CS(n) a un minimum entre 20 et 30 ?

Rappel : Le coût de stockage est une fonction carrée, utiliser le calcul de l’extremum pour trouver le coût minimum.

5. Déterminer le nombre de véhicules pour lequel le coût de stockage est minimum. Quel est ce coût ? Le résultat de la question 4 est-il vérifié ?
 

Approximation affine du coût de stockage
En moyenne, le nombre de véhicules stockés est de 75.
Le responsable du parc automobile a une méthode de calcul du coût de stockage pour un nombre de véhicules stockés proche de 75. Il multiplie par 2 le nombre de véhicules puis il ajoute 887, 50 €.
Il a ainsi une idée du coût journalier de stockage.
6. En utilisant la méthode du responsable, exprimer le coût de stockage en fonction du nombre n de véhicules.
7. Calculer avec cette expression CS(74), CS(75) et CS(76).
8. Calculer CS(74), CS(75) et CS(76) avec l’expression CS(n) = 0,02n² - n + 1 000 puis comparer avec les résultats du 7).
9. En utilisant Sinéquanon, déterminer l’équation réduite de la tangente à CS au point d’abscisse 75 (Voir méthode séquence 08, utilisation des TIC). Comparer avec l’expression de la question 6.
10. Peut-on considérer que pour des valeurs proches de 75 la tangente propose une bonne approximation affine de la fonction CS(n)?

[pzorba75]

C'est bien de mettre le sujet, mais c'est encore mieux en mettant ton travail pour le vérifier et t'aider avec des corrections en cas d'erreurs. Si tu attends des réponses toutes pour faire du copier coller dans le téléphone de ton professeur, tu n'es pas au bon endroit. Cherche sur des sites avec Ppal et ta carte bleue.

[clairejugie]

sa va faire 2 fois que tu envoi un message ! je suis pas une élève mais une mamie qui veut à tous pris aider sa petite fille qui se trouve en première elle à énormément de mal avec les maths je me suis donc inscrite sur ce site non pas pour lui donner les réponses déjà toutes faites mais pour m'aider moi à comprendre pour ensuite aider ma petite fille à mieux comprendre. Alors au lieux d'écrire toujours les même messages tu devrais plutôt t'intéresser à ce qui à déjà était écrit et proposer ton aide. 

[clairejugie]

l'aider me prend déjà beaucoup de temps c'est pour cela que je n'inscrit pas les réponses qu'elle a trouvé. 

[pzorba75]

Sans voir le travail de l'élève, je ne peux pas aider mais faire à la place de l'élève qui fera du copier coller. Ce n'est pas ma méthode. Voir sur d'autres sites payants.

[clairejugie]

 sa s'appelle de la mauvaise fois nuance de (ce n'est pas ma méthode). 

[Denis CAMUS]

La règle rappelée en jaune est le calcul de la racine carrée d'un nombre et non pas le calcul des racines d'un polynôme.

[clairejugie]

En mathématiques, pour trouver les racines d'un polynôme il existe principalement 4 méthodes :

• la méthode complète qui consiste à exprimer les valeurs exactes des racines sous forme de fractions et radicaux en passant (notament) par le discriminent delta
• la méthode par transformation qui consiste à réécrire le polynôme sous une autre forme (factorisation si on connaît déjà une racine, forme canonique, changement de variable, etc.)
• la méthode par analyse qui donne une valeur approchée des racines en analysant la courbe représentative de la fonction polynôme
• la méthode alternative, moins connue et utilisée dans certains tours de magie par les calculateurs prodiges, qui permet de donner rapidement les valeurs exactes des racines, quelque soit le degré du polynome, à partir du moment où ce dernier répond à certains critères particuliers

[Denis CAMUS]

Étude du coût de stockage
Le concessionnaire fait une étude sur le coût de stockage journalier de son parc automobile.
Le service comptabilité détermine que pour un nombre n de véhicules le coût de stockage CS en € est : CS(n) = 0,02n² - n + 1 000 pour un nombre de véhicules compris entre 0 et 100.
1. Calculer le coût de stockage pour 0 véhicule.

CS(n) = 0,02n² - n + 1 000 n étant le nombre de véhicules, remplacer n par 0 et voir ce que vaut alors CS(0). (oût du stockage de 0 véhicule).

À quoi correspond la somme obtenue ?

Loyer, électricité, ....

La courbe CS représentative du coût de stockage sur [0 ; 100] est donnée en annexe 1.

Elle permet de valider éventuellement le calcul précédent.

2. Tracer les tangentes T1 et T2 à CS aux points A et B d’abscisses respectives 20 et 30. T1 passe par A et par C(60 ; 980) ; T2 passe par B et par D(90 ; 1 000).
3. Déterminer les coefficients directeurs de T1 et T2.

Le coefficient directeur sur le graphique est le rapport entre les ordonnées de deux points de la tangente choisie, sur la différence des abscisses de ces deux points. T1 passe par A et C. Son coefficient directeur est : (y_c-y_a) / (x_c-x_a). Remplacer les x et y par les coordonnées des points. Pareil pour T2. Mais tout ça normalement c'est du cours.

En déduire les nombres dérivés CS ’(20) et CS ’(30).

Voir la signification du nombre dérivé en un point d'une courbe.

Indiquer la variation de CS(n) aux points d’abscisses 20 et 30.

En fonction du signe  de CS ’(20) et CS ’(30) : croissante ou décroissante ?
4. D’après les résultats précédents, peut-on affirmer que la fonction CS(n) a un minimum entre 20 et 30 ?

Réfléchir en fonction du changement de signe des deux coefficients directeurs.