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Problème de synthèse: produit scalaire


NoraGrey

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ABC est le triangle rectangle en A, I et J sont les milieux des côtés [AB] et [AC] et H est le projeté orthogonal de A sur [BC]. On veut démontrer que les droites (HI) et (HJ) sont orthogonales. On va employer plusieurs méthodes, utilisant des outils différents, pour prouver ce résultat.

1) avec le produit scalaire
a) montrer que HB.HC= -AH²
b) en déduire HI.HJ = o, puis conclure

2) Avec les configurations du plan
a) montrer que le cercle circonscrit au triangle AIJ passe par le milieu de [BC]
b) en déduire que H appartient à ce cercle et conclure

3) Avec le théorème de Pythagore
a) on note x = AB, Y = AC et z = Bc. Exprimer HI, HJ, IJ en fonction de x, y, z
b) en utilisant le triangle HIJ, conclure

J'ai déjà fais les 2 premières questions mais je n'arrive pas à faire les questions 3) a) et b). J'ai besoin d'aide s'il vous plait.. Merci d'avance :)

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  • E-Bahut

Bonsoir,

Un brin de courtoisie n'aurait pas été du luxe...

a) Dans le triangle ABH rectangle en H, I est le milieu de l'hypoténuse. Donc, I est le centre du centre circonscrit du triangle ABH. Ainsi, HI = x/2.

De même, HJ = y/2 (même démo).

Dans le triangle AIJ rectangle en A, d'après le th. de Pythagore, IJ = sqrt(AI^2 + AJ^2) = sqrt(x^2+y^2)/2

Pour finir, 

IJ^2 = (x^2 + y^2)/4

HI^2 + HJ^2 = x^2/4 + y^2/4

Comme IJ^2 = HI^2 + HJ^2, d'après la réciproque du th. de Pythagore, on peut dire que HIJ est rectangle en H. Donc, (HI) perp (HJ).

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  • E-Bahut
il y a 8 minutes, NoraGrey a dit :

Bonsoir, merci de m'avoir répondu aussi rapidement et de bien vouloir m'aider. J'ai perdu toutes mes bases sur le théorème de Pythagore. "sqrt" veut dire racine carré ?

Je t'en prie.

Oui, sqrt(x) signie racine carré de x. sqrt étant la contraction de SQuare Root voulant dire racine carré en anglais.

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