exercice sur les dérivations

[emlynemtl]

Bonsoir, je souhaiterais obtenir de l'aide concernant un exercice sur les dérivations. Merci d'avance. 
Voici l'exercice: 
Dans une usine de produits alimentaires, une machine fabriquant de la moutarde est utilisée 10 heures par jour, en continu. La fonction f, définie sur [0;10]par: f(t)= -t³+ 12t²+72t, représente la production totale de moutarde apres t heures de fonctionnement. La dérivée de f, f'(t), représente la production marginale de cette machine apres t heures d'utilisation. 
1°) a) Calculer f'(t). Calculer la dérivée de la production marginale notée g(t) ou f"(t) 
b) Etudier les variations de la production marginale et montrer qu'elle admet un maximum atteint en t0=4. 
c) justifier que la production totale est croissante sur [0;10]. 

2°) Sur l'intervalle ou la production marginale est croissante, on parle de " phase de rendements croissants". Sur l'intervalle ou la production marginale est décroissante on parle de "phase de rendements décroissants". A l'instant t0 , ou la production marginale change de sens de variation , le point I d'abscisse t0 de la courbe C de la production totale est un point d'inflexion. 
a)Indiquer les deux phases et le point d'inflexion I pour cette production. 
b) Soit C la courbe représentaive de la fonction de production f. Determiner l'équation réduite de la tangente T à la courbe C au point d'inflexion I sous la forme y=h(t). 
c) Etudier le signe de la différence f(t)-h(t) sur l'intervalle [0;10]. 
On vérifiera que: f(t)-h(t)=-(t-4)³. 
d) Justifier la phrase:" Au point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente" 

Je suis bloqué à la b) du 2 
pour l'instant j'ai fait ça dans mon devoir : 

1) a. f'(t) = -3t² + 24t + 72 et g(t) = f''(t) = -6t + 24 

b. g(t) > 0 
-6t + 24 > 0 
6t < 24 
t < 4 
Donc g(t) > 0 pour t < 4 
D'où g(t) < 0 pour t > 4 
Sur [0; 4] g(t) est positive et sur [4; 10] g(t) est négative. Donc on en déduit que f'(t) est croissante sur [0; 4] et est décroissante sur [4; 10]. 
g(t)=0 soit t=4 

Puis j'ai fait un tableau de signe pour g(t) qui est donc positif de ]-infini;4] qui s'annule a 4 et est négatif de [4, +infini[ et j'ai fait un tableau de variation pour f'(t) croissant de - l'infini à 4 et décroissant de 4 à + l'infini 

c) La fonction f'(t) admet donc un maximum en to = 4 

Pour t = 0, on a f'(0) = -3*0² + 24*0 + 72 = 72 
Pour t = 10, on a f'(10) = -3*10² + 24*10 + 72 = -300 + 240 + 72 = 12 

La fonction f'(t) est donc strictement positive sur [0; 10] 

j'ai aussi répondu à cette question sous une autre forme avec delta mais je ne sais pas laquelle est la mieux ! : 
Delta = b(au carré) - 4ac 
Delta = 24(au carré) - 4 (-3) (72) = 576 + 864 = 1440 
Delta > 0 donc ce polynôme admet deux racines: 
t' = (-b - racine de delta) / 2a 
t' = (-24 - racine de 1440) / 2 (-3) 
t' = 4 + 2 (racine de 10) 
t' = 10,325 environ 
t'' = 4 - 2 (racine de 10) 
t'' = -2,325 environ. 

f'(t) est donc positive sur [-2,325 ; 10, 325] et négative sur [-infini ; -2,325] U [10,325 ; +infini] 

2) a. La phase de rendements croissants se trouve sur l'intervalle [0; 4], la phase de rendements décroissants se trouve sur [4; 10]. 

f'(4) = -3*4² + 24*4 + 72 = 120 

Donc le point d'inflexion I a pour coordonnées I (4; 120) 

b. je sais qu'il faut utilisé cette formule : y = f '(a) (x - a) + f(a) mais je n'arrive pas à faire le calcul et je suis donc bloqué a cette question. 

Je vous remercie d'avance de l'aide que vous m'apporterez. 

[Boltzmann_Solver]

il y a 11 minutes, emlynemtl a dit :

Bonsoir, je souhaiterais obtenir de l'aide concernant un exercice sur les dérivations. Merci d'avance. 
Voici l'exercice: 
Dans une usine de produits alimentaires, une machine fabriquant de la moutarde est utilisée 10 heures par jour, en continu. La fonction f, définie sur [0;10]par: f(t)= -t³+ 12t²+72t, représente la production totale de moutarde apres t heures de fonctionnement. La dérivée de f, f'(t), représente la production marginale de cette machine apres t heures d'utilisation. 
1°) a) Calculer f'(t). Calculer la dérivée de la production marginale notée g(t) ou f"(t) 
b) Etudier les variations de la production marginale et montrer qu'elle admet un maximum atteint en t0=4. 
c) justifier que la production totale est croissante sur [0;10]. 

2°) Sur l'intervalle ou la production marginale est croissante, on parle de " phase de rendements croissants". Sur l'intervalle ou la production marginale est décroissante on parle de "phase de rendements décroissants". A l'instant t0 , ou la production marginale change de sens de variation , le point I d'abscisse t0 de la courbe C de la production totale est un point d'inflexion. 
a)Indiquer les deux phases et le point d'inflexion I pour cette production. 
b) Soit C la courbe représentaive de la fonction de production f. Determiner l'équation réduite de la tangente T à la courbe C au point d'inflexion I sous la forme y=h(t). 
c) Etudier le signe de la différence f(t)-h(t) sur l'intervalle [0;10]. 
On vérifiera que: f(t)-h(t)=-(t-4)³. 
d) Justifier la phrase:" Au point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente" 

Je suis bloqué à la b) du 2 
pour l'instant j'ai fait ça dans mon devoir : 

1) a. f'(t) = -3t² + 24t + 72 et g(t) = f''(t) = -6t + 24 

b. g(t) > 0 
-6t + 24 > 0 
6t < 24 
t < 4 
Donc g(t) > 0 pour t < 4 
D'où g(t) < 0 pour t > 4 
Sur [0; 4] g(t) est positive et sur [4; 10] g(t) est négative. Donc on en déduit que f'(t) est croissante sur [0; 4] et est décroissante sur [4; 10]. 
g(t)=0 soit t=4 

Puis j'ai fait un tableau de signe pour g(t) qui est donc positif de ]-infini;4] qui s'annule a 4 et est négatif de [4, +infini[ et j'ai fait un tableau de variation pour f'(t) croissant de - l'infini à 4 et décroissant de 4 à + l'infini 

c) La fonction f'(t) admet donc un maximum en to = 4 

Pour t = 0, on a f'(0) = -3*0² + 24*0 + 72 = 72 
Pour t = 10, on a f'(10) = -3*10² + 24*10 + 72 = -300 + 240 + 72 = 12 

La fonction f'(t) est donc strictement positive sur [0; 10] 

j'ai aussi répondu à cette question sous une autre forme avec delta mais je ne sais pas laquelle est la mieux ! : 
Delta = b(au carré) - 4ac 
Delta = 24(au carré) - 4 (-3) (72) = 576 + 864 = 1440 
Delta > 0 donc ce polynôme admet deux racines: 
t' = (-b - racine de delta) / 2a 
t' = (-24 - racine de 1440) / 2 (-3) 
t' = 4 + 2 (racine de 10) 
t' = 10,325 environ 
t'' = 4 - 2 (racine de 10) 
t'' = -2,325 environ. 

f'(t) est donc positive sur [-2,325 ; 10, 325] et négative sur [-infini ; -2,325] U [10,325 ; +infini] 

2) a. La phase de rendements croissants se trouve sur l'intervalle [0; 4], la phase de rendements décroissants se trouve sur [4; 10]. 

f'(4) = -3*4² + 24*4 + 72 = 120 

Donc le point d'inflexion I a pour coordonnées I (4; 120) 

b. je sais qu'il faut utilisé cette formule : y = f '(a) (x - a) + f(a) mais je n'arrive pas à faire le calcul et je suis donc bloqué a cette question. 

Je vous remercie d'avance de l'aide que vous m'apporterez. 

Bonjour Emelyne,

Le début est très bien ! On sent que tu l'as bossé et c'est avec joie que je t'aiderai.

Pour la b), tu as totalement raison ! Il faut utiliser la formule y = f '(a) (x - a) + f(a) dans laquelle,

- f est la production totale.

- a est l'abscisse du point de la courbe à partir duquel tu cherches l'équation réduite de la tangente.

Donc, peux tu me donner :

- a = .....

- f'(a) = .....

- f(a) = .....

Quand ça sera fait, il te restera à remplacer dans la formule pour trouver l'équation réduite de la tangente.

[Olivier0507]

Bonjour,

1a : Ok pour la dérivée

b : Ne pas oublier les équivalences entre les différentes lignes d'inégalités. Pour le tableau de variations, inutile d'étudier les variations sur ]-inf ; +inf[ ; se limiter à l'intervalle d'étude proposé [0 ; 10] (d'autant plus que t représente une durée et qu'une durée négative n'a pas de réelle signification). L'écriture "g(t) = 0 soit t = 4" n'est pas très heureuse et rigoureuse. Il vaut mieux écrire en toutes lettres : la fonction g s'annule au point d'abscisse 4 sur l'intervalle d'étude. Ou bien : g( t=4 ) = 0 (écriture que l'on voit souvent en physique).

c : Finir le raisonnement à l'écrit (même s'il est évident que tu l'as mené dans ta tête) : f'(t) > 0 sur [0,10] donc f est croissante sur ce même intervalle.

Pour ton interrogation sur la méthode à employer, il est largement préférable de conserver la première méthode puisqu'elle s'inscrit beaucoup plus dans l'esprit du sujet qui te pousse à passer par la dérivée seconde pour étudier le signe de la dérivée première. 

La seconde partie a été détaillée par BS entre temps

[Boltzmann_Solver]

Bonjour Olivier,

Comme elle est surement en 1ES, je n'ai pas signalé les équivalences car mes collègues de maths ne les sanctionnent jamais sur ce point... Cela dit, je corrige la rédaction dans un second temps pour éviter d'embrouiller les élèves (même si elle semble plutôt forte). Mais toutes tes remarques sont justes (et je n'aurai pas à le faire en fin de correction^^).

En te souhaitant une bonne journée,

BS.

[emlynemtl]

Merci beaucoup à vous deux pour votre aide !

Boltzmann_Solver :D'accord donc si je me trompe pas cela fait 

- a = -4

- f'(a) = -6x4+24

- f(a) = 120

ce qui ferait donc  y = f''(4)(x - 4) + f'(4) = (-6*4 + 24)(x - 4) + 120

 

Olivier0507   : D'accord, merci. Donc pour le tableau de variation je me limite sur l'intervalle [0;10] et est il utile de faire également un tableau de signe pour g(t) ?

 

 

[Boltzmann_Solver]

il y a 2 minutes, emlynemtl a dit :

Merci beaucoup à vous deux pour votre aide !

Boltzmann_Solver :D'accord donc si je me trompe pas cela fait 

- a = -4  Tu cherches la tangente à C en quel point ? Quelle est son abscisse

- f'(a) = -6x4+24 Tu as fait une grosse erreur de lecture.

- f(a) = 120 (Détaille)

ce qui ferait donc  y = f''(4)(x - 4) + f'(4) = (-6*4 + 24)(x - 4) + 120

 

 

Tu fais des erreurs par manque de rigueur. Relis toi bien. Tu fais plein de petites erreurs.

[Olivier0507]

Pour le tableau, il vaut mieux en faire un seul et unique qui contiendrait une ligne pour le signe de g(t), une autre pour les variations de la fonction g etc... Et tout cela sur l'intervalle [0 ; 10]. 

PS à BS : Pas de souci, je pensais juste que c'était par manque de temps =) 

[Boltzmann_Solver]

il y a 2 minutes, Olivier0507 a dit :

Pour le tableau, il vaut mieux en faire un seul et unique qui contiendrait une ligne pour le signe de g(t), une autre pour les variations de la fonction g etc... Et tout cela sur l'intervalle [0 ; 10]. 

PS à BS : Pas de souci, je pensais juste que c'était par manque de temps =) 

Elle a de la chance ! Deux profs rien que pour elle^^.

[emlynemtl]

Pour a je cherche la tangente à C au point d'inflexion I qui a donc pour coordonné (4;120) donc a = 4

Par contre pour f'(a) j'avoue ne pas trouver mon erreur, je pensais qu'il fallait reprendre f"(t) qui est égale à -6t+24 et tout simplement remplacer t par 4 

f(a) = f'(4) = -3x4^2 + 24x4 +72 = -48 + 96 +72 = -48 + 168 = 120

 

 

[Boltzmann_Solver]

il y a 2 minutes, emlynemtl a dit :

Pour a je cherche la tangente à C au point d'inflexion I qui a donc pour coordonné (4;120) donc a = 4 (TB) Il n'y avait pas de moins.

Par contre pour f'(a) j'avoue ne pas trouver mon erreur, je pensais qu'il fallait reprendre f"(t) qui est égale à -6t+24 et tout simplement remplacer t par 4 

Ce n'est pas rigoureux. Tu veux f'(a) et tu me parles de f''(t). Je ne comprends pas le lien ? C'est comme si je te disais prends un carré rouge et tu prenais un rond rouge car ils sont rouges tous les deux. 

f(a) = f'(4) = -3x4^2 + 24x4 +72 = -48 + 96 +72 = -48 + 168 = 120

Idem.

Je te rappelle que  C est la courbe représentative de la fonction de production f. 

 

[emlynemtl]

Excusez moi, je ne suis très forte en math j'ai donc du mal à faire de bon raisonnement 

f'(a) est le coefficient directeur de la tangente C, c'est bien ça ? il faut donc que je calcul le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 4

Je pensais du coup qu'il fallait reprendre la dérivée de la fonction f et remplacer t par 4 mais du coup ce n'est pas ça 

 

 

[Boltzmann_Solver]

il y a 1 minute, emlynemtl a dit :

Excusez moi, je ne suis très forte en math j'ai donc du mal à faire de bon raisonnement  (Rassure toi, tu n'as pas à t'excuser pour ça. Ne te décourage pas, c'est tout^^) 

f'(a) est le coefficient directeur de la tangente C, c'est bien ça ? il faut donc que je calcul le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 4 (Ca c'est juste) Mais ce n'est pas ce que tu as fait.

Je pensais du coup qu'il fallait reprendre la dérivée de la fonction f et remplacer t par 4 mais du coup ce n'est pas ça. C'est bien ça mais ce n'est pas ce que tu fais dans ton calcul.

Il te reste à être suffisamment rigoureuse pour faire ce que tu dis. 

[emlynemtl]

Très bien, il me semblerait juste de faire ça pour f'(a):  f'(4) = -3x4^2 + 24x4 +72 = -48 + 96 +72 = -48 + 168 = 120

mais cela me reviendrait au même que pour le calcul de f(a) ?

ou alors c'est que f(a) est égale à ce calcule : f(a) = -4³+12x4² +72x4 = -64 + 192 + 288 = 416

ce qui ferait au final y =  120 (x-4) + 416

[Boltzmann_Solver]

il y a 3 minutes, emlynemtl a dit :

Très bien, il me semblerait juste de faire ça pour f'(a):  f'(4) = -3x4^2 + 24x4 +72 = -48 + 96 +72 = -48 + 168 = 120

mais cela me reviendrait au même que pour le calcul de f(a) ? (Pourquoi cela reviendrait-il au même ???)

ou alors c'est que f(a) est égale à ce calcule : f(a) = -4³+12x4² +72x4 = -64 + 192 + 288 = 416

ce qui ferait au final y =  120 (x-4) + 416 (Oui, c'est ça mais tu ne sembles pas convaincue. Pourquoi doutes tu ?)

La dernière question est importante ! Si tu n'es pas convaincu par le raisonnement, tu ne sauras jamais faire les DS et l'étude de fonction tombe chaque année au bac.

[emlynemtl]

Ah d'accord !! En fait je doutais beaucoup parce que au début je me suis embrouillé entre le calcul de f(a) et f'(a) ! 

Donc pour la 2. b)   y =  120 (x-4) + 416  

et je passe à la 2.c) pour étudier le signe de la différence f(t) - h(t) sur l'intervalle [0.10] je fait un tableau de signe ?

et pour vérifier que f(t) - h(t) = -(t-4)²  j'ai juste à calculer : f(t) - h(t) = -(t-4)²  <=> (-t³+ 12t²+72t) -(120 (x-4) + 416)

[Boltzmann_Solver]

il y a 4 minutes, emlynemtl a dit :

Ah d'accord !! En fait je doutais beaucoup parce que au début je me suis embrouillé entre le calcul de f(a) et f'(a) ! 

On est bien d'accord mais pourquoi cette confusion !! Toi, tu avais fait comme si on traçait la tangente à C', courbe représentative de f' au lieu de la tangente à C, courbe représentative de f. Je te parlais de rigueur car cette confusion se levait avec une lecture attentive de la question. Prends y soin à l'avenir :). 

Donc pour la 2. b)   y =  120 (x-4) + 416  

et je passe à la 2.c) pour étudier le signe de la différence f(t) - h(t) sur l'intervalle [0.10] je fait un tableau de signe ? (Oui mais commence par la vérification.)

et pour vérifier que f(t) - h(t) = -(t-4)² (Lis bien l'énoncé !!) j'ai juste à calculer : f(t) - h(t) = -(t-4)²  (Faux car tu pars de la réponse) <=> (-t³+ 12t²+72t) -(120 (x-4) + 416) (Mal rédigé car tu dis qu'une égalité est équivalente à une expression).

Le plus simple pour la vérification, c'est de :

- simplifier f(t) - h(t).

- développer et réduire  -(t-4)³

Et de remarquer que ces deux expressions sont égales.

[emlynemtl]

simplifier f(t) - h(t) : 

(-t³+ 12t²+72t) -(120 (x-4) + 416) = (-t³+ 12t²+72t) -120 (x-4) - 416 =(-t³+ 12t²+72t) -120x + 480 - 416 = -t³+ 12t²+72t -120x + 64 

je pense que je me trompe dans ma simplification, mais la je sais pas trop comment m'y prendre 

développer et réduire  -(t-4)³ :

-(t-4)³ = -(t² -4² -2xtx4)² (t-4)

avant de continuer de développé j'aimerais savoir si c'est bien de cette manière qu'il faut s'y prendre ?

(désolé de la lenteur de ma réponse..)

 

[Boltzmann_Solver]

il y a 2 minutes, emlynemtl a dit :

simplifier f(t) - h(t) :  Attention, ce n'est pas h(x) mais h(t). A toi de corriger !

 f(t) - h(t) = (-t³+ 12t²+72t) -(120 (x-4) + 416) = (-t³+ 12t²+72t) -120 (x-4) - 416 =(-t³+ 12t²+72t) -120x + 480 - 416 = -t³+ 12t²+72t -120x + 64 

je pense que je me trompe dans ma simplification, mais la je sais pas trop comment m'y prendre (L'erreur vient du x)

développer et réduire  -(t-4)³ :

-(t-4)³ = -(t² -4² -2xtx4)² (t-4) (Faux. Tu as mal appliqué l'identité remarquable)

avant de continuer de développé j'aimerais savoir si c'est bien de cette manière qu'il faut s'y prendre ?

(désolé de la lenteur de ma réponse..)

(Pas de souci^^)

 

Bonjour Emelyne (un brin de courtoisie !!),

[emlynemtl]

Oui, bonjour excusez moi ! :$

ah oui effectivement c'est h(t) ! alors du coup ca devrait donner  :  f(t) - h(t) = (-t³+ 12t²+72t) -(120 (t-4) + 416) = (-t³+ 12t²+72t) -120 (t-4) - 416 =(-t³+ 12t²+72t) -120t + 480 - 416 = -t³+ 12t²+72t -120t + 64 = -t³+12t²-48t+64

Pour ce qui est de développer et réduire -(t-4)³ l'identité remarquable est celle-ci ? :  (a-b)³=(a-b)².(a-b)
 

 

[Boltzmann_Solver]

il y a 16 minutes, emlynemtl a dit :

Oui, bonjour excusez moi ! :$

ah oui effectivement c'est h(t) ! alors du coup ca devrait donner  :  f(t) - h(t) = (-t³+ 12t²+72t) -(120 (t-4) + 416) = (-t³+ 12t²+72t) -120 (t-4) - 416 =(-t³+ 12t²+72t) -120t + 480 - 416 = -t³+ 12t²+72t -120t + 64 = -t³+12t²-48t+64 (TB)

Pour ce qui est de développer et réduire -(t-4)³ l'identité remarquable est celle-ci ? :  (a-b)³=(a-b)².(a-b) (Cette écriture n'est pas une identité remarquable. Tu as juste mis la puissance sous forme d'un produit. Mais c'est bien ce qu'il faut faire. Par contre, pour développer le carré, le plus simple est d'utiliser une identité remarquable et c'est là que tu te plantes. Détaille le développement.)
 

 

 

[emlynemtl]

Bonjour !!

ah oui l'identité remarquable est celle-ci alors : (a-b)²=a²-2ab+b²  et je me suis tromper avec le signe de b² parce que j'avais mis un -

donc maintenant ça devrait faire :  -(t-4)³ = -(t² -2xtx4+4²) (t-4) = (-t² +8t-16)(t-4)= -t³+4t²+8t²-32t-16t+64= -t³+12t²-48t+64

j'arrive donc au même résultat que pour la simplification de  f(t) - h(t) :  -t³+12t²-48t+64  !

Pour la dernière question l’énoncer dit de justifier la phrase : "Au point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente." Je dois justifier avec simplement des mots ? 

[Boltzmann_Solver]

il y a 38 minutes, emlynemtl a dit :

Bonjour !!

ah oui l'identité remarquable est celle-ci alors : (a-b)²=a²-2ab+b²  et je me suis tromper avec le signe de b² parce que j'avais mis un -

donc maintenant ça devrait faire :  -(t-4)³ = -(t² -2xtx4+4²) (t-4) = (-t² +8t-16)(t-4)= -t³+4t²+8t²-32t-16t+64= -t³+12t²-48t+64

j'arrive donc au même résultat que pour la simplification de  f(t) - h(t) :  -t³+12t²-48t+64  !

Donc, f(t) - h(t) = -(t-4)^3

Pour la dernière question l’énoncer dit de justifier la phrase : "Au point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente." Je dois justifier avec simplement des mots ? 

Bonjour Emelyne,

C'est ça ! Mais évite d'utiliser le x pour la multiplication. Utilise plutôt *.

Avant de faire la d), fais l'étude du signe. Surement que tu en auras besoin.

Et pour la d), tu dois le prouver ! Donc, déjà. Il faudrait me traduire en langage mathématique les données (ce que l'on sait) et ce que l'on doit montrer.

[emlynemtl]

D'accord je saurais à l'avenir !

Donc je fais un tableau de signe de f(t)-h(t) sur l'intervalle [0;10], avec 3ligne, une pour f(t), une pour h(t) et une dernière avec f(t)-h(t) ?

d)  je pense me perdre un peu, je dois dire que h(t) est la tangente à la courbe de f'(t) en 4?

[Boltzmann_Solver]

il y a 37 minutes, emlynemtl a dit :

D'accord je saurais à l'avenir !

Donc je fais un tableau de signe de f(t)-h(t) sur l'intervalle [0;10], avec 3ligne, une pour f(t), une pour h(t) et une dernière avec f(t)-h(t) ?

Absolument pas ! On ne sait pas déduire le signe d'une soustraction. On sait trouver le signe d'un produit et d'un quotient seulement !!! Attention au cours, là.

[emlynemtl]

ah mince, du coup je dois fais le tableau de signe pour -(t-4)³ ce qui revient au même ?