Fonction ln N°2

[lolo2207]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un devoir de maths.

Soit f la fonction définie sur [ 0.5 ; 2] par f(x) = -x^2 -x +4 +ln x et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1) Démontrer que f est strictement décroissante sur [ 0.5 ; 2]

2) Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution delta sur [ 0.5 ; 2] puis donner une valeur approchée de delta à 0.01 près. En déduire le signe de f(x) sur [ 0.5 ; 2].

3) Déterminer une équation de la tangente de T à C au point d’abscisse 1.

4) Soit G la fonction défini sur [ 0.5 ; 2] par G(x) = x ln x -x

Démontrer que G est une primitive de la fonction ln sur [ 0.5 ; 2].

Merci d'avance pour votre aide !

[Papy BERNIE]

Re bonjour,

1) f '(x)=-2x-1+1/x

On réduit au même déno : f '(x)=(-2x²-x+1)/x

Sur [0.5;2] , le déno est > 0 donc f '(x) est du signe de -2x²-x+1. Ce trinôme est négatif entre les racines qu'il faut que tu calcules.

On trouve :x₁=-1 et  x₂=0.5

Donc sur [0.5;2] , f '(x) est < 0 et f(x) est décroissante. OK  ?

2) Tu calcules f(0.5) puis f(2). Tu vas trouver : f(0.5) > 0 et f(2) < 0. Tu écris ensuite :

La fct f(x) est continue et strictement décroissante sur [0.5;2] passant d'une valeur positive pour x=0.5 à une valeur négative pour x=2. Donc d'après le TVI , il existe un unique réel "a" tel que f(a)=0. ( "a" ou "delta" ??).

Tu rentres dans ta calculatrice :

Y1= -x^2 -x +4 +ln x

Puis :

DébTable=0.5

PasTable=0.1

Puis tu fais "table" pour avoir un encadrement à 0.1 près. Et tu continues avec un nouveau :Débtable et un PasTable de 0.01.

3)

L'équation de la tgte est : y=f '(1)(x-1)+f(1).

Tu fais les calculs.

4) Tu dérives d'abord : x*ln (x) en remarquant que c'est de la forme : u*v avec :

u=x donc u'=1

v=ln (x) donc v '=1/x

Tu calcules u'v+uv' =..

puis G '(x).