Ldg Posté(e) le 5 mars 2016 Signaler Share Posté(e) le 5 mars 2016 Bonjour, je suis bloquée à mon dm de mathématiques, voici l'énoncé: On donne le nombre complexe j = 1/2+i*(racine 3)/2 Questions: • Résoudre z²+z+1 = 0 • Vérifiez que le nombre complexe j est une solution de cette équation. • Déterminez le module et un argument du nombre complexe j, puis donner sa forme exponentielle. • Démontrez les égalités suivantes: a. j^3 = 1 b. j² = -1-j On note P, Q, R les images respectives des nombres complexes 1, j et j² dans le plan. Quelle est la nature du triangle PQR? Justifiez. Mes réponses: • J'ai trouvé un discriminant de (-3) donc delta = (racine3)i avec comme première racine x1 = (-1-(racine3)i)/2 et comme seconde x2 = (-1+(racine3)i)/2 • Je ne sais pas comment faire. • J'ai trouvé le module = 1 et z = 1(cos 2pi/3 + isin 2pi/3) ceci est bon? Je dois faire quoi ensuite? • Je n'y arrive pas. • Il me faut le réponse précédente pour y arriver. Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 5 mars 2016 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 5 mars 2016 Bonjour, Il y a une erreur d'énoncé. j = -1/3 + i*sqrt(3)/2. 1) z^2 + z + 1 = 0 (E) D = 1^2 - 4*1*1 = -3. Donc, deux racines imaginaires conjuguées qui sont : z1 = (-1-i*sqrt(3))/2 et z2 = (-1+i*sqrt(3))/2 Comme z1 = j, on en déduit que j est solution de l'équation. 2) |j| = sqrt(1/4 + 3/4) = 1. Le module vaut 1. Soit theta, l'argument de j. Donc, cos(theta) = -1/2 et sin(theta) = sqrt(3)/2). Ainsi, theta = 2*pi/3 mod 2pi. En conclusion, j = exp(i*2*pi/3). 3) a)En utilisant la forme exponentielle, j^3 = exp(i*2*pi/3)^3 = exp(3*2*i*pi/3) = exp(i*2pi) = 1 b) Comme j est solution de (E), on en déduit que j^2 = - j - 1. 4) Si tu fais le dessin, tu verras que PQR est un triangle équilatéral (à démonter). Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
Ldg Posté(e) le 6 mars 2016 Auteur Signaler Share Posté(e) le 6 mars 2016 Bonjour, je tiens à vous remercier pour votre aide, mais j'ai un petit soucis, je ne comprends pas comment placer PQR dans le plan mais je sais par la suite comment démontrer. L'image de 1 serais j^3 ? et ainsi de suite ? Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 6 mars 2016 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 6 mars 2016 Bonjour, Je t'en prie. Exprime j^2 en notation algébrique. Ensuite dessine le plan complexe. Je pars du principe que tu sais placer un point dans le plan complexe. Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
Ldg Posté(e) le 6 mars 2016 Auteur Signaler Share Posté(e) le 6 mars 2016 C'est donc -i-1 ? Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 6 mars 2016 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 6 mars 2016 il y a 15 minutes, Ldg a dit : C'est donc -i-1 ? Non. Comment as tu pu trouver ça ? Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
Ldg Posté(e) le 6 mars 2016 Auteur Signaler Share Posté(e) le 6 mars 2016 Je sais pas, je comprend pas.. Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 6 mars 2016 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 6 mars 2016 il y a 26 minutes, Ldg a dit : Je sais pas, je comprend pas.. Relis ma correction, tu as la réponse. Courage ! Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
Ldg Posté(e) le 6 mars 2016 Auteur Signaler Share Posté(e) le 6 mars 2016 Je trouve pas, c'est pas grave, merci quand même Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
Ldg Posté(e) le 6 mars 2016 Auteur Signaler Share Posté(e) le 6 mars 2016 Finalement j'ai réussi, merci de votre aide ! Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 6 mars 2016 E-Bahut Signaler Share Posté(e) le 6 mars 2016 Il s'agit du sujet d'Asie 2015. Le corrigé est sur le site de l'APMEP : http://www.apmep.fr/IMG/pdf/Corrige_Asie_S_16_juin_2015_FH.pdf Lien vers le commentaire Partager sur d’autres sites More sharing options...
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