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DM de math TES


Larren

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Bonjour, je suis bloquée à cette question sur un exercice sur les suites :

Prouver que pour tout nombre entier naturel n :

P_n = 2 * (V_n - U_n )

Sachant que :

V_n = P_n+1 - (1/2)P_n

U_n = P_n+1 - P_n

En déduire une expression P_n en fonction de n.

Je calcule :

2 * ( P_n+1 - (1/2)P_n - P_n+1 - P_n )

2 * ( - (3/2)P_n )

- 3P_n

Je me doute que j'ai manqué un moins quelque part mais je ne vois pas où, est ce que quelqu'un peut m'aider ? Merci d'avance.

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On note P_0 la population initiale et P_n la population au bout de n années. Des études ont permis de modéliser l'évolution de P_n par la relation ® , pour tout nombre entier naturel n.

P_n+2 - P_n+1 = (1/2)(P_n+1 - P_n)

P_0 = 40 000 et P_1 = 60 000

2. V_n = P_n+1 - (1/2)P_n

U_n = P_n+1 - P_n

a) Prouver que U_n est géométrique

b) En déduire pour tout entier n, V_n+1 - V_n et V_n

c)Prouver que pour tout nombre entier naturel n :

P_n = 2 * (V_n - U_n )

En déduire une expression P_n en fonction de n.

d)Montre que P_n converge et donner sa limite.

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  • E-Bahut

Merci. Je peux maintenant t'aider à finir l'ex.

a)Pour tout n de N

p(n+2)-p(n+1)=(1/2)(p(n+1)-p(n)) donc par définition de u(n): u(n+1)=(1/2)u(n) ce qui prouve que u(n) est géométrique de raison (1/2)

u(0)=p(1)-p(0)=6000-40000=20000 et on en déduit que:

u(n)=(1/2)^n * 20000

b)pour tout n de N

v(n+1)-v(n)=p(n+2)-p(n+1)/2-p(n+1)+p(n)/2=[p(n+2)-p(n+1)]-[p(n+1)/2-p(n)/2]=u(n+1)-u(n)/2=

(1/2)^(n+1)*20000-(1/2)*(1/2)^n*20000=0

on en déduit que v(n) est une suite constante (tous ses termes sont égaux)

on calcule v(0)=p(1)-(1/2)p(0)=60000-20000=40000

tous les v(n) valent 40000

c) fait ds le message précédent

p(n)=2(v(n)-u(n))=2(40000-(1/2)^n*20000)=80000-40000*(1/2)^n

d) qd n tend vers +00, (1/2)^n tend vers 0 et p(n) tend vers 80000

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