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Shaden

Dm De Mathématique

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Merci :) . Il ne nous reste plus qu'un exercice à faire.

Zorba m'avait dit en début de post :

Exo D.

Une piste pour ton problème:

Pose x=t²

Etudie f(x)=x²-x+1/4

Cette fonction est décroissante de -infini à 1/2, nulle en x=1/2 et croissante de 1/2 à +infini.

Conclure f(x²)>0 soit t^4-t^2>=-1/4

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Merci :) . Il ne nous reste plus qu'un exercice à faire.

Zorba m'avait dit en début de post :

Exo D.

Une piste pour ton problème:

Pose x=t²

Etudie f(x)=x²-x+1/4

Cette fonction est décroissante de -infini à 1/2, nulle en x=1/2 et croissante de 1/2 à +infini.

Conclure f(x²)>0 soit t^4-t^2>=-1/4

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Ou sinon, on peut utiliser la méthode de zorba, plus simple.

On pose t²=x. Donc t⁴-t²+1/4 => 0 <==> x²-2*1/2*x + (1/2)² => 0 <==> (x-1/2)² => 0.

en utilisant les variations de la fonction carré, on peut dire que (x-1/2)² est minimale en x-1/2 = 0. Donc (x-1/2)² => 0 est toujours vraiesur R.

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Ou sinon, on peut utiliser la méthode de zorba, plus simple.

On pose t²=x. Donc t⁴-t²+1/4 => 0 <==> x²-2*1/2*x + (1/2)² => 0 <==> (x-1/2)² => 0.

en utilisant les variations de la fonction carré, on peut dire que (x-1/2)² est minimale en x-1/2 = 0. Donc (x-1/2)² => 0 est toujours vraiesur R.

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Ou sinon, on peut utiliser la méthode de zorba, plus simple.

On pose t²=x. Donc t⁴-t²+1/4 => 0 <==> x²-2*1/2*x + (1/2)² => 0 <==> (x-1/2)² => 0.

en utilisant les variations de la fonction carré, on peut dire que (x-1/2)² est minimale en x-1/2 = 0. Donc (x-1/2)² => 0 est toujours vraiesur R.

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Donc en gros on a cette expression : (x - 1/2)² => 0

On sait que qu'elle est nul en x = 1/2

Donc on fait notre tableau de signe et variation

-------------------------------------------------------------------

x | -infini 1/2 +infini

------------------------------------------------------------------|

(x - 1/2)² | + 0 +

------------------------------------------------------------------|

t^4 - t² + 1/4 | décroissant 0 croissant

------------------------------------------------------------------|

Donc ça veut dire que (x-1/2)² sera positive sur R\{1/2} et nul en 1/2 donc (x-1/2)² => 0 et donc t^4 - t² => 1/4

C'est juste ?

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Donc en gros on a cette expression : (x - 1/2)² => 0

On sait que qu'elle est nul en x = 1/2

Donc on fait notre tableau de signe et variation

-------------------------------------------------------------------

x | -infini 1/2 +infini

------------------------------------------------------------------|

(x - 1/2)² | + 0 +

------------------------------------------------------------------|

t^4 - t² + 1/4 | décroissant 0 croissant

------------------------------------------------------------------|

Donc ça veut dire que (x-1/2)² sera positive sur R\{1/2} et nul en 1/2 donc (x-1/2)² => 0 et donc t^4 - t² => 1/4

C'est juste ?

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Alors, pour résoudre A' >= 0 . Il faut que je fasse un tableau de signes.

Comme ceci :

------------

r

-------------

2 :pi:

-------------

2 :pi: r :cube: -1

------------

:pi: r :carre:

------------

A'

-------------

Donc pour 2 :pi: , c'est tout le temps positif, on le sait déjà.

Ensuite pour 2 :pi: r :cube: -1 il faut résoudre

2 :pi: r :cube: -1 = 0

je trouve r = :sqrt: (1/ :sqrt: 2 :pi: )

Donc dans le tableau de signe à gauche de la valeur :sqrt: (1/ :sqrt: 2 :pi: ) c'est négatif, et a droite positif

pour la ligne 2 :pi: r :cube: -1

Pour :pi: r :carre: , il faut trouver :pi: r :carre: = 0 , je trouve r = 0, donc à gauche de 0 c'est négatif et a droite positif

On a donc sa :

------------

r -:infini: 0 :sqrt: (1/ :sqrt: 2 :pi: ) +:infini:

-------------

2 :pi: + + +

-------------

2 :pi: r :cube: -1 - - 0 +

------------

:pi: r :carre: - 0 + +

------------

A' + 0 - 0 +

-------------

Pour l'instant, ai-je juste?

Avec l'étude des signes de A' je peux en déduire la croissance ou décroissance de A et donc trouver le minimum. Avant de commencer à faire sa, j'aimerais savoir si ce que j'ai fait est juste.

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