limite et radical

[C8H10N4O2]

Bonjour à toutes et tous! 

Soit à calculer les limites aux infinis de f(x) = √(x²+6x) - x .

En moins l'infini,√( x²+6x) équivaut à √x² donc à -x. D'où Lim f(x) = Lim -2x = +∞

Pourquoi ne peut on pas procéder de la même façon pour la limite en + ∞ et considérer que Lim f(x) = Lim x-x = 0 ? 

Ça va de soi par ces températures, toute assistance sera chaudement appreciée

[julesx]

il y a 9 minutes, C8H10N4O2 a dit :

Pourquoi ne peut on pas procéder de la même façon pour la limite en + ∞ et considérer que Lim f(x) = Lim x-x = 0 ? 

Parce qu'il s'agit d'une forme indéterminée, voir éventuellement sur la toile.

Pour lever l'indétermination, entre autres (?)

* Utiliser un développement limité

√( x²+6x)=x√( 1+6/x)

√(1+6/x)≈1+3/x

Donc √( x²+6x)-x≈x(1+3/x)-x donc tend vers 3

* Multiplier et diviser par la "quantité conjuguée"

√( x²+6x)-x=[√( x²+6x)-x]*[√( x²+6x)+x]/[√( x²+6x)+x)]=6x/[√( x²+6x)+x)] avec √( x²+6x)+x) équivalent à 2x. Je te laisse terminer.

 

 

[pzorba75]

Jusqu'en terminale S en France, c'est  

Citation

Multiplier et diviser par la "quantité conjuguée"

la méthode à utiliser, les développements limités seront étudiés après le bac, disons le bac en poche.

[julesx]

Bonjour pzorba75,

D'accord avec vous en ce qui concerne la méthode à utiliser en terminale, mais, comme C8H10N402 ne précise pas son niveau (et vu certains posts précédents), je me suis dit que je pouvais également citer la méthode utilisant les développements limités. Si j'ai eu tort, que le demandeur nous le fasse savoir.

[Invité]

Il y a 1 heure, C8H10N4O2 a dit :

Pourquoi ne peut on pas procéder de la même façon pour la limite en + ∞ et considérer que Lim f(x) = Lim x-x = 0 ? 

 

Les équivalents ne s'additionnent pas. On peut les multiplier, les diviser les uns par les autres sans inconvénient, mais pas les additionner. C'est le meilleur moyen de faire de grossières erreurs.

Par contre, on peut additionner des DL, car alors on est bien obligé de tenir compte du reste qu'on l'écrive en O(.) ou o(.) ou sous forme explicite, de façon à s'assurer que les termes au delà du dernier écrit tendent bien vers 0.

C8H10... est de niveau postbac. Nul doute qu'il le confirmera.

 

[C8H10N4O2]

Merci à tous pour vos réponses! 

Effectivement j'ai presque deux fois l'âge du bac ! À l'époque mes résultats tendaient vers -∞, mais j'ai avec le temps développé une passion pour le sujet, allez comprendre! 

"Les équivalents ne s'additionnent pas. On peut les multiplier, les diviser les uns par les autres sans inconvénient, mais pas les additionner." Il me semble que JLN touche là le fond du problème parce additionner des équivalents, c'est précisément ce qu'on fait dans mon exemple pour la limite en -∞ de √(x²+6x) - x , où on étudie au final celle de -2x (le corrigé de l'ouvrage sur lequel j'étudie l'écrit explicitement) ; de même dans la transformation par quantité conjuguée proposée par jules x "√(x²+6x) + x équivalant à 2x" .

Je me demandais justement pourquoi ne pas avoir procédé de la même manière dans l'autre cas. Effectivement il semble toléré d'additionner des équivalents sous réserve de ne pas faire disparaître un cas d'indétermination en le faisant. Un peu comme aux échecs où on peut roquer sous réserve de ne pas passer par une case contrôlée par une pièce adverse. Ça me paraît assez acrobatique...

En toute rigueur, il faudrait peut être alors écrire qu'en -∞, √(x²+ 6x ) - x équivaut non à -2x mais à -x - x , ce qui se traduit en termes de limites par (+∞)+(+∞) , donc Limf(x) = +∞. De même en +∞, √ ( x²+ 6x ) + x  équivaudrait non à 2x mais à x + x .

C'est assez frustrant lorsqu'un auteur n'explicite pas la règle implicite qu'il utilise dans son calcul ! C'est le lot de tout apprentissage autodidacte, j'imagine...

 

Merci encore à tous les 3

[Invité]

En - il n'y a pas indétermination. Donc évidemment additionner des équivalent dont on n'a d'ailleurs absolument pas besoin dans ce cas , ça marche.

Par contre en +, on obtient n'importe quoi si on se limite au 1er ordre, puisqu' en fait la limite est finie.

[C8H10N4O2]

Oui effectivement, dans la mesure où les équivalents n'ont d'utilité qu'en cas d'indétermination, déterminer s'il y en a une ou pas devrait précéder tout calcul. Mais dans le cas d'une expression avec de nombreux termes, chercher une expression équivalente peut simplifier les choses. 

Je joint une capture de l'exercice mentionné où l'auteur additionne clairement des équivalents. 

image:25073

[C8H10N4O2]

Je me rends compte que la photo jointe est plutôt floue.

 

Je recopie le passage : Pour x infini positif, le dénominateur équivaut à : √(x²+6x) + x ≈ √x² + x = x+x = 2x . 

 

 

 

 

 

[Invité]

J'ai pu lire la photo, un peu floue il est vrai.

En fait l'auteur commence par multiplier et diviser par la quantité conjuguée.

Ensuite, il se rend compte qu'il obtient une forme indéterminée +oo/+oo. Et là, il prend un équivalent du numérateur (il ne se fatigue pas beaucoup, c'est 6x) et un du dénominateur ,soit 2x (c'est vrai que pour ce faire il additionne, mais , il n'y a aucun risque car il n'y a pas conflit, le radical et le x tout seul tendent vers +oo), et il fait le rapport des 2 équivalents pour obtenir le résultat.

Encore une fois, additionner des équivalents est à éviter, c'est à haut risque.

 

[C8H10N4O2]

Le Monday, May 29, 2017 at 18:01, JLN a dit :

 

Encore une fois, additionner des équivalents est à éviter, c'est à haut risque.

 

Oui je vais m'en tenir à ce principe qui me paraît sage. Merci pour vos explications !