Dérivabilité / Extremum / Théorème de Rolle

[Shelly213]

Bonjour,

Pourriez vous voir ma rédaction est-elle bon ? Et me débloqué là où je n'y arrive pas ? Merci d'avance, 

• Sur quel(s) intervalle(s) la fonction f: x -> x⁵ - 5x ?

Elle est croissante sur l'intervalle ]-oo ; -1] U [1 ; +oo[ 

• Calculer la dérivée quatrième de la fonction f: x -> e^3x

f(x) = e^3x      f'(x) = 3e^3x     f"(x) = 9e^3x     f'"(x) = 27e^3x     f""(x) = 81e^3x

• Calcul les dérivées n^ième des fonctions suivantes: 

1. f(x) = x³ + x² + x + 1 
2. g(x) = cos x
3. h(x) = e^3x

Je ne vois pas comment déterminer la dérivées n^ième. D'après mon cours:

'' On définit la fonction dérivée n^ième ou d'ordre n comme étant la fonction dérivée de la fonction d'ordre n-1. f⁽ⁿ⁾ = (f^(n-1))' 

• Calculer de deux manières différentes la dérivée n^ième de la fonction f: x -> e^xe^2x

1^ère METHODE: D'après la formule de Leibniz, 

On doit s'arrêter jusqu'à où ? J'ai commencé à le faire mais je ne sais pas où s'arrêter.

2^EME METHODE:   f(x) = e^xe^2x = e^3x 

• Donner le lien entre un extremum local et la dérivée. La réciproque est elle vraie ? Le résultat annoncé reste-elle valable pour un extremum global ? Justifier à l'aide d'un exemple. 

 

• Démontrer, sans calcul de la dérivée, que la dérivée de la fonction f: x -> x⁴ - x³ s'annule sur [0,1]

 

Merci d'avance pour votre aide. 

[Barbidoux]

Il y a 1 heure, Shelly213 a dit :

Bonjour,

Pourriez vous voir ma rédaction est-elle bon ? Et me débloqué là où je n'y arrive pas ? Merci d'avance, 

• Sur quel(s) intervalle(s) la fonction f: x -> x⁵ - 5x ?

Elle est croissante sur l'intervalle ]-oo ; -1] U [1 ; +oo[ 

affirmation pas démonstration... il faut calculer f'(x) et démontrer que f'(x)<0 sur ]-1,1[

• Calculer la dérivée quatrième de la fonction f: x -> e^3x

f(x) = e^3x      f'(x) = 3e^3x     f"(x) = 9e^3x     f'"(x) = 27e^3x     f""(x) = 81e^3x

• Calcul les dérivées n^ième des fonctions suivantes: 

1. f(x) = x³ + x² + x + 1  (f'=3*x^2+2*x+1, f'=6*x+2, f'''=6 et f^n'=0 pour n>3)
2. g(x) = cos x ==> f^n'(x)=cos (x+n*π/2)  dé:montrer  par récurrence
3. h(x) = e^3x ==> f^n'(x)=3^n*exp(3*x)

Je ne vois pas comment déterminer la dérivées n^ième. D'après mon cours:

Calculer de deux manières différentes la dérivée n^ième de la fonction f: x -> e^xe^2x

1^ère METHODE: D'après la formule de Leibniz, 

on pose exp(x)=f et exp(2*x)=g ==> f^(k)=f et g^(p-k)=2^(p-k)g ==> (f*g)^(p)(x)=(f*g) somme de k=0 à p de (^p_k)*2^(p-k)

2^EME METHODE:   f(x) = e^xe^2x = e^3x 

• Donner le lien entre un extremum local et la dérivée. La réciproque est elle vraie ? Le résultat annoncé reste-elle valable pour un extremum global ? Justifier à l'aide d'un exemple. 

 

• Démontrer, sans calcul de la dérivée, que la dérivée de la fonction f: x -> x⁴ - x³ s'annule sur [0,1]
• f n'est pas la fonction nulle, f(0)=0 et f(1)=0 ==> f(x) passe par un extremum sur [0,1] donc sa dérivée s'annule sur cet intervalle

 

Merci d'avance pour votre aide. 

 

[Shelly213]

Il y a 4 heures, Barbidoux a dit :

 

Bonsoir,

Merci pour votre réponse. 

Voici ce que j'ai fait grâce à votre aide:

1) f est dérivable sur R

f(x) = x^5 - 5x 

f'(x) = 5x^4 - 5 = 5(x^4 - 1) = 5(x^2 +1)(x^2 -1)

x^4 - 1 = 0

<=> (x^2 - 1) = 0      (x^2 +1) = 0

x = -1 ou 1 

Lorsque je dresse le tableau de signe (x^2 - 1) --->.    +  -  + 

Pour (x^2 + 1), cela est impossible car delta est négatif.

2)

• g(x)= cos x.  
• g'(x)= -sin x =   cos(pi/2 - x)
• g''(x) = -cos x =  sin(x - pi/2)
• g'''(x) = sin x  =  cos(x + pi/2)

Mais je ne vois pas comment passer à cos (x+n*π/2) 

 

Merci,

[Barbidoux]

il y a 15 minutes, Shelly213 a dit :

1) f est dérivable sur R

f(x) = x^5 - 5x 

f'(x) = 5x^4 - 5 = 5(x^4 - 1) = 5(x^2 +1)(x^2 -1)

 (x^2 +1)>0  et (x^2 - 1) = 0    du signe du coefficient de x^2 à l'extérieur de ses racines ==> f'(x)≥0 sur ]-∞, -1] U [1, ∞[ donc fonction croissante sur cet intervalle

2)

• g(x)= cos x.  
• g'(x)= -sin x =   cos(x+pi/2) (initialisation)
• On suppose gⁿ'(x)= cos(x+n*pi/2)
• g⁽ⁿ⁺¹⁾'(x)= -sin(x+n*pi/2)=cos(x+(n+1)*pi/2)
• la relation étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n 

 

[Shelly213]

Voici ma récurrence:

• Initialisation:

Pour n = 0

g(x) = cos(x + n*pi/2)

g(0) = cos(x)

Donc (Po) vraie

• Hérédité

On suppose que (Pn) est vraie, montrons alors que (Pn+1) est vraie: cos(x + (n+1)*pi/2)

g^(n+1)(x) = - sin(x+ n*pi/2) = cos(x + n*pi/2 + pi/2) = cos (x + (n+1)*pi/2)

Donc Pn+1 est vraie 

Qu'en pensez vous ? 

[Shelly213]

il y a 32 minutes, Barbidoux a dit :

 

Je n'avais pas vu, 

Merci beaucoup Barbidoux, 

Bonne soirée,