Logique & Ensemble & Application

[Shelly213]

Hello tout le monde, 

J'ai fait des exercices pour m'entraîner, je vous joint en pièce jointe, car il est difficile de taper les réponses ici. Pourriez vous m'expliquer pourquoi j'ai faux & si ma rédaction est bonne. 

Merci d'avance, 

 

RAISONNEMENT: 

Exercice 2:

Soit z appartenant à C. Montrer que z appartient à iR qui équivaut à I z - 1 I = I z + 1 I 

Exercice 3:

1) Montrer que V2 est un nombre irrationnel. 

2) La somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est un nombre irrationnel. (je ne vois pas comment faire, je pense qu'il faut utiliser le raisonnement par l'absurde. Mais je ne sais pas comment l'utiliser)

ENSEMBLE & APPLICATION:

Exercice 1 & 2:

voir la feuille 

Exercice 3:

Soient F et G deux parties d'un ensemble E. Montrer les égalités suivantes (lois de Morgan):

1. non F et non  G = non F ou non G

2. (non F U G) = non F et non G

 

PS: Je ne maîtrise pas le raisonnement par l'absurde. 

Par exemple pour montrer que P implique Q. On suppose que P est vraie et que Q est fausse, et on cherche une contradiction. Pourriez vous me l'expliquer, s'il vous plait ?
Je vous remercie d'avance

, 

[CitronVert]

Exo 1 : OK

Exo 2 : Faux. Tu as montré seulement la réciproque, il faut montrer l'équivalence donc aussi l'implication.

Tu écris aussi  " z appartient à iC. Soit z = iy"

Déjà c'est iR et pas iC. Ensuite, c'est quand tu déclares la variable la premlère fois que tu dois dire "soit".

La rédaction correcte est : 

"Soit z appartient à iR. Donc il existe y appartenant à R tel que z = iy."

 

Exo 3 : C'est globalement juste, mais ta rédaction est très difficile à comprendre. Tu n'écris ni ce que tu veux faire, ni pourquoi tu veux le faire. Il y a également beaucoup d'erreurs d'inattentions qui rendent le raisonnement faux et encore plus dur à comprendre.

"On doit prouver que p² est pair" -> Déjà, tu veux dire que p est pair, pas p² non ? Ensuite non, tu ne dois pas prouver que p est pair. Tu veux prouver que p est pair, car cela te servira plus tard. Cela doit être écrit sur la copie ! Ecris "Montrons que p est pair".

Quand tu fais une supposition absurde, précise que "on suppose par l'absurde", sinon c'est incompréhensible.

J'ai du relire ta démarche 3 fois avant de comprendre ce que tu voulais faire. Au début je me suis même dit que tu n'avais rien compris à l'exercice.

Je te refais les grandes lignes du raisonnement :

V2 est-il un nombre irrationnel ?

Supposons par l'absurde que V2 est irrationnel. Donc il existe p et q tel que blablabla ...

Donc p² est pair.

Montrons qu'alors p est pair.

Supposons par l'absurde que p est impair. Alors blablabla ...

Donc p² est pair, ce qui est absurde.

Donc p est pair.

(enlève la partie "par contraposée")

La fin du raisonnement est bonne.

 

Le raisonnement par l'absurde est au fond la même chose que le raisonnement par contraposée. Tu veux montrer une propriété P. Tu supposes alors, "par l'absurde", que cette propriété est fausse, et tu essaies d'arriver à quelque chose d'aberrant.

Par exemple si tu veux montrer que racine de 2 est irrationnel, tu supposes par l'absurde qu'il est rationnel. Donc il s'écrit p/q, mais cela finit par être absurde à cause du problème de parité. Donc c'est qu'il était absurde de supposer qu'il est rationnel. Donc il est irrationnel.

 

2ème feuille :

Exo 1: OK

Exo 2:

2) non c'est faux. L'ensemble vide n'appartient pas à N, et le singleton {1} non plus. Donc { ensemble vide, {1}} n'est pas inclus dans N, donc il n'appartient pas à P(N). On applique simplement la définition.

3) Faux aussi pour les mêmes raisons.

Exo 3 :

Déjà ce n'est pas la négation d'un ensemble mais le complémentaire. Donc on n'écrit pas "non F" mais "complémentaire de F".

Le 2ème astérisque est bon. Enlève le "Soit E un ensemble" car c'est faux. E n'est pas un ensemble quelconque, c'est l'ensemble dans lequel on prend le complémentaire, donc il a déjà été défini auparavant.

Pour le premier astérisque je m'abstiens de corriger, demande plutôt à ton prof. Cette démonstration m'embête un peu, tu devrais faire comme l'autre astérisque.