Shelly213

Applications

10 messages dans ce sujet

Bonsoir,

Pourriez vous vérifier mon travail s'il vous plait ? Et m'expliquer pourquoi j'ai faux. Le problème, je ne sais pas comment rédiger puisqu'on doit assimiler le cours chez nous seul et poser des questions en classe.  Je ne sais pas comment démontrer quant est ce elle est bijective ou surjective. 

Je connais mes définitions:

Soit f: E -> F

- Injective: f est injective si pour tout x,x' appartenant à E avec f(x) = f(x') alors x = x'

- Surjective: f est surjective si pour tout y appartenant à F, il liste x appartenant à E tel que y = f(x). f est subjective sis f(E) = F.

- Bijective: f est bijective si elle est injective et surjective. Cela équivaut à pour tout y appartenant à F, il existe un unique x appartenant à E tel que f(x) = y. 


Merci d'avance :D

Exercice 1: 

Pour chacune des applications suivantes, déterminer si elle injective, surjective ou bijective. Peut on calculer f o g et g o f ?

f: R* -> R

   x-> 1/x

Ma réponse: Soient x et x' appartenant à R

f(x) = f(x')

=> 1/x = 1/x'

=> x = x'

Donc f est injective. 

f: N -> N

n -> n + 1 

Ma réponse: Soient n,n' appartenant à N

f(n) = f(n')

=> n+1 = n'+1 

=> n = n'

Donc f est injective. 

f: R -> R

   x-> x^2 + 2x - 3

Ma réponse: Soient x et x' appartenant à R

f(x) = f(x')

=> (x^2 + 2x - 3) = (x^2 + 2x - 3)

=> 0

Donc f est injective

Exercice 2: 

Soit l'application f définie par 

f: R privé de 1 -> R

  x -> x+1 / x - 1

1. f est elle injective ou surjective ?

Si f est surjective: 

Pour tout y appartenant à R, il existe tout x appartenant à R privé de 1, (x+1) / (x-1) = y

y appartient à R <=> (x+1) = y (x-1) 

<=> x + 1 = xy - y

<=> x - xy = -1 - y 
<=> x(1-y) = -1 - y 

<=> x = (-1-y) / (1 - y) 

Or y ne doit pas être égale à 1. 

f(x) = 1 <=> (x+1) / (x-1) = 1 <=> x + > = x - 1

donc il existe y appartenant à R, pour tout x appartenant à R f(x) n'est pas égale à 1. Donc f n'est pas surjective. 

2. Quelle restriction doit on faire sur l'ensemble d'arrivée pour que f devienne bijective ? Dans ce cas expliciter l'application réciproque. 

3. Calcul le domaine de définition D de f o f puis calculer fo f(x) pour tout x appartenant à D

Exercice 3:

Soit l'application

f: R -> ]0 ; +oo[ 
  x -> ln(1 + e^x)

Montrer que f est bijective et expliciter l'application f^-1

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il y a une heure, Shelly213 a dit :

- Injective: f est injective si pour tout x,x' appartenant à E avec f(x) = f(x') alors x = x'

- Surjective: f est surjective si pour tout y appartenant à F, il liste x appartenant à E tel que y = f(x). f est subjective sis f(E) = F

Ces définitions sont justes, mais avant de continuer je te conseille de prendre du temps pour bien comprendre ce que ces termes veulent dire intuitivement. (cf des erreurs que tu as faites plus tard).

Injective signifie que la fonction ne passe au maximum qu'une seule fois par chaque valeur. Pour tout y dans l'ensemble d'arrivée, il existe au plus un antécédent x tel que f(x) = y. Il peut y en avoir 0. C'est en fait ce que dit la définition : si la fonction prend 2 fois la même valeur en x et x', alors x et x' sont le même. Par contraposée, cela veut aussi dire que si on prend 2 nombres x et x' différents, alors f(x) est différent de f(x'). Enfin pour les fonctions réelles, on peut facilement voir si la fonction est injective en regardant la courbe elle ne doit jamais prendre 2 fois la même valeur.

Surjective est un peu le complémentaire : cela signifie que la fonction passe au moins une fois par chaque valeur. Pour tout y dans l'ensemble d'arrivée, il existe au moins un antécédent x tel que f(x)= y. Il faut donc que tu poses "Soit y appartenant à l'ensemble d'arrivée" et que tu lui trouves un antécédent. Contrairement à l'injectivité, cela dépend de l'ensemble d'arrivée. Par exemple la fonction x -> x² est surjective si je la définis de R dans R+, mais pas si je la définis de R dans R. Donc la "même" fonction peut être surjective ou pas si on change un peu l'ensemble d'arrivée. En effet, si je prends y dans R+, il y a un antécédent : la racine carrée de y. Si je prends y dans R par contre, y peut être strictement négatif et il n'y a pas d'antécédent, car aucun réel au carré ne peut donner un nombre négatif. Je prendrai la première question comme exemple.

En combinant injectif et surjectif, on obtient bijectif : la fonction atteint exactement une et une seule fois chaque valeur.

 

Pour chacune des applications suivantes, déterminer si elle injective, surjective ou bijective. Peut on calculer f o g et g o f ?

Qu'est-ce que c'est que g ?

il y a une heure, Shelly213 a dit :

 

f: R* -> R

   x-> 1/x

Ma réponse: Soient x et x' appartenant à R étoile

f(x) = f(x')

=> 1/x = 1/x'

=> x = x'

Donc f est injective. 

Oui. Pour montrer la surjectivité, il faut que tu commences comme ça :

 

Soit y appartenant à R (l'ensemble d'arrivée). Existe t-il au moins un x dans R* tel que f(x) = y ?

 

Ici ce n'est pas le cas. En effet si y=0, il n'existe aucun x tel que 1/x = 0. Donc f n'est pas surjective.

Par contre si on enlevait 0 de l'ensemble d'arrivée, la fonction serait surjective. En effet, soit y appartenant à R* (R étoile cette fois) alors 1/y existe, et on a f(1/y) = 1/1/y = y. Donc y admet 1/y comme antécédent.

 

il y a une heure, Shelly213 a dit :

f: N -> N

n -> n + 1 

Ma réponse: Soient n,n' appartenant à N

f(n) = f(n')

=> n+1 = n'+1 

=> n = n'

Donc f est injective. 

Oui. Je te laisse faire la surjectivité.

 

il y a une heure, Shelly213 a dit :

f: R -> R

   x-> x^2 + 2x - 3

Ma réponse: Soient x et x' appartenant à R

f(x) = f(x')

=> (x^2 + 2x - 3) = (x^2 + 2x - 3)   x', pas x

=> 0     QUOI ????????????????

Donc f est injective   -> wtf ?

Pour commencer, n'écris plus jamais => 0 dans une copie de maths ou ton professeur risque de te trucider (et aussi mettre 0 pour faire la blague).

Une proposition n'implique pas un nombre, ça n'a aucun sens. 0 ne prouve rien, et surtout pas que la fonction est injective.

il y a une heure, Shelly213 a dit :

Donc f est injective 

Non seulement tu ne l'as pas prouvé, mais en plus c'est faux. Je t'invite à poursuivre ton raisonnement (avec x' à la place de x) et trouver un contre-exemple, pour vérifier que tu es au clair avec la notion d'injectivité.

 

Il y a 1 heure, Shelly213 a dit :


Exercice 2: 

Soit l'application f définie par 

f: R privé de 1 -> R

  x -> x+1 / x - 1

1. f est elle injective ou surjective ?

Si f est surjective: 

Pour tout y appartenant à R, il existe tout x appartenant à R privé de 1, (x+1) / (x-1) = y      Rédaction à soigner, cette phrase ne veut rien dire

Pour tout y appartenant à R, il existe x appartenant à R privé de 1, tel que (x+1) / (x-1) = y

y appartient à R <=> (x+1) = y (x-1)      Ce symbole "équivalent" ne sert à rien et n'a rien à faire là. Utilise des "implique".

=> x + 1 = xy - y

=> x - xy = -1 - y 
=> x(1-y) = -1 - y 

=> x = (-1-y) / (1 - y)     .... Si y = 1, tu divises par 0 ...

Or y ne doit pas être égale à 1.   y peut tout à fait valoir 1 puisqu'il appartient à R.

Rappelle toi ce que tu cherches à montrer !! Toute cette partie ne sert à rien. Tu essaies de montrer que si f est surjective alors y ne doit pas valoir 1. Oui c'est vrai, mais pourquoi t'embêter à le faire ?? Tu as compris que ça coince si y vaut 1, et ici justement on sait que y peut valoir 1, donc prends y = 1 et montre qu'il n'y a pas d'antécédent ! ça suffit pour montrer la non-surjectivité.

En pratique, tu peux faire ces calculs préliminaires pour toi sur ton brouillon, pour investiguer et comprendre le problème. Par contre ne laisse pas ça sur ta copie finale ! Non seulement tu vas écrire des choses fausses, mais en plus ça ne sert mathématiquement à rien. Pour montrer que c'est faux, tu as juste à donner un contre-exemple.

Il y a 1 heure, Shelly213 a dit :

 

f(x) = 1 <=> (x+1) / (x-1) = 1 <=> x + > = x - 1      (Encore pas besoin des équivalent)

donc il existe y appartenant à R, tel que pour tout x appartenant à R f(x) n'est pas égal à 1. Donc f n'est pas surjective. 

Voilà, ces 2 lignes suffisent. C'est tout ce qu'on te demande !!

 

Je te laisse refaire ce devoir avec ces premières corrections, peut-être que maintenant tu y arriveras un peu mieux. N'hésite pas à redemander de l'aide.

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Au sujet des "équivalent".

Le symbole équivalent signifie l'implication des deux côtés. Par exemple P <=> Q signifie P => Q et Q => P.

Donc :

1) Ne mets pas le symbole "équivalent" si tu n'es pas sûre que la réciproque est vraie.

2) Ne mets pas le symbole "équivalent" si tu n'en as pas besoin, dans la grande majorité des cas un simple "implique" => suffit.

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Merci pour votre réponse, CitronVert. Je vais aller corriger mes erreurs. 

Pourriez vous m'expliquer les quantificateurs ? En maths, les quantificateurs sont très importants, cela prend sens en maths ; mais il ne faut pas mélanger l'ordre '' Pour tout x, il existe y tel que '' .... & '' Il existe y, pour tout x tel que .... ''.
Merci d'avance,

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Pour l'exercice 

f: R -> R

   x-> x^2 + 2x - 3

 

Je voudrais savoir si il était possible pour montrer qu'elle est surjective ou non. Est-ce que je pourrais prendre y = 0.

J'obtiendrais: x^2 +2x - 3 = 0

C'est de la forme ax^2 + bx + c, polynôme du second de degrés. 

delta = b^2 - 4ac = 4 - 4 * 1 * (-3) = 16 

racine de delta = V16 = 4 
delta positif, il existe deux solutions.

x1 = (-b - Vdelta) / 2a = (-2 - 4) / 2 = -3

x2 = (-b + Vdelta) / 2a =  (-2 + 4) / 2 = 1

S= { -3 ; 1 }
donc f est surjective. 

PS: J'ai pas rédigé, c'est juste une idée

Est-ce que c'est bon ? 
Merci d'avance,

Modifié (le) par Shelly213

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Donc parce que la fonction atteint 0, elle est surjective ... ?

Je pense que tu n'es vraiment pas au claire avec ces définitions. Pour que f soit surjective il faut que TOUT y soit atteint, pas seulement 0.

Injective : Chaque élément de l'ensemble d'arrivée est atteint au plus une fois.

Surjective : Chaque élément de l'ensemble d'arrivée est atteint au moins une fois.

C'est quelque chose de très important mais vraiment pas compliqué. Rien qu'en observant la courbe de la fonction, tu devrais voir de façon triviale si elle est surjective ou pas.

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Si je comprend bien, f est surjective si tout y appartenant à F admet au moins un antécédent ? et que f est injective si tout y appartenant à F admet au plus un antécédent ? 

Mais je ne vois pas comment y résoudre. 

Soit y appartenant à R et x appartenant à R tel que f(x) = y

x^2 + 2x - 3 = y 

Merci pour votre réponse,

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Je te montre l'approche intuitive, on verra plus tard pour la justification mathématique.

https://www.google.fr/search?q=x^2%2B3x-2

On voit que f atteint un minimum. Donc toutes les valeurs en dessous ne peuvent pas être atteintes ! cette fonction ne peut évidemment pas être surjective. Toute la zone en dessous du minimum ne peut pas être atteinte.

Sur la courbe je vois que y=-6 ne semble pas avoir d'antécédent par exemple. Et bien j'essaie :

f(x) = -6 =>  x^2 +2x - 3 =-6

=>  x^2 +2x + 3 = 0

Le discriminant est 2² - 4*3 = -8. Il est négatif donc cette équation n'admet pas de solution. Donc f(x) = -6 n'a pas de solution, donc -6 n'a pas d'antécédent. Cela suffit pour le justifier mathématiquement, mais dès le départ je savais tout de suite que f n'était pas injective car elle atteint un minimum.

Pour l'injectivité, on voit également sur la courbe que les valeurs sont atteintes 2 fois la plupart du temps (parabole). Par exemple si je prends y = 0, il y a 2 antécédents, que tu as calculés : -3 et -1. Donc f n'est pas injective.

screen3.png

Je veux maintenant que tu me dises si les fonctions suivantes sont injectives et surjectives, juste avec des arguments logiques ou en traçant leur courbe sur google. On verra plus tard pour la justification mathématique de ton exercice.

f(x) = x^3 , de R dans R

f(x) = cos x, de R dans R

f(x) = x^4+100000000000000*x^3

 

Modifié (le) par CitronVert

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