Exercice INTEGRATION - Type Bac

[fkatarina_alba]

Bonjour ! Je me retrouve ici pour recevoir si possible un peu d'aide concernant un exercice type bac sur l'intégration. Je suis en tle STL et j'ai quelques lacunes en mathématiques mais je pense que si quelqu'un peut m'expliquer comment raisonner, etc... Je saurais faire l'exercice (il est un peu long mais je pense qu'en ayant bien tout compris il se fait rapidement).
Merci à l'avance de votre aide.

PS : J'ai souligné les questions auxquelles j'aurais vraiment besoin d'un petit coup de pouce

 

Soit la fonction f définie sur R par f(x) = (2x   +   3)e^-x      +1.

 

*Déterminer la limite de f en -infini.   PS: J'ai des difficultés avec les limites dès que ça se complique un peu... SI vous pourriez m'expliquer pour que je puisse m'en sortir svp

*Montrer que pour tout nombre réel x : f(x) = 2 * x/e^x   +  3/e^x   +1.  Déterminer la limite de f en +infini. Donner l'équation de l'asymptote D de la courbe C.

*Démontrer que cette asymptote D coupe la courbe C au point B de coordonnées (-1,5;1).

*Étudier, en justifiant,la position de la courbe C par rapport à la droite D.

*Prouver que la dérivée de f' de la fonction f est définie pour tout nombre réel x par : f'(x) = (-2x  -  1)e^-x.

*Déterminer une équation de la droite T tangente à la courbe C au point A de coordonnées (0;4).   Il s'agit bien ici d'utiliser y= f'(a)(x-a)+f(a) ? (Mais il y a deux points 0 et 4 ??)

*Montrer que la fonction F définie par:   F(x) = (-2x  -  5)e^-x   +   x  est une primitive de la fonction f sur R.

 

Voilà ... Donc si quelqu'un n'est pas trop effrayé et assez motivé à l'idée de devoir m'aider un petit peu (j'essaierai de comprendre au mieux ^^), j'en serai ravie!

Merci encore ^^ !
 

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

En STL, il faut pas se laisser impressionner les maths. Avec un peu de méthode, ce sont des points faciles à obtenir. Procédons par étape.

Pour la première question, tu dois découper ta fonction en petits morceaux et faire des limites de chacun des morceaux. Après, il suffit d'appliquer le tableau donnant les limites des additions, somme, etc...

Ici, le découpage le plus simple est :

- f1(x) = 2x + 3

- f2(x) = e^(-x)

- f3(x) = 1

Peux tu me calculer proprement les limites pour f1, f2 et f3 ?

[fkatarina_alba]

Alors ... en -inf on a :

f1(x) = lim 2x+3= - inf

f2(x) = lim e^(-x) = + inf

f3(x) = lim 1 = 1

Ma fonction étant f(x) = (2x+3)e^-x +1, j'ai : lim 1 * lim 2  et ça + lim 3 ?

Donc -inf   * +inf = -inf ; -inf + 1 = -inf

Alors lim f(x) = -inf

[Boltzmann_Solver]

il y a 7 minutes, fkatarina_alba a dit :

Alors ... en -inf on a :

f1(x) = lim 2x+3= - inf

f2(x) = lim e^(-x) = + inf

f3(x) = lim 1 = 1

Ma fonction étant f(x) = (2x+3)e^-x +1, j'ai : lim 1 * lim 2  et ça + lim 3 ?

Donc -inf   * +inf = -inf ; -inf + 1 = -inf

Alors lim f(x) = -inf

Tu as compris l'idée  Le Tout sera de bien rédiger. Mais c'est déjà pas mal du tout !

Pour la 2), il ne devrait pas y avoir trop de problème, non ? Si oui, dis moi ce qui te bloque.

[fkatarina_alba]

D'accord tant mieux, j'espère m'en sortir de la même façon plus tard

Hé bien, pour la suite : montrer que f(x)= 2*x/e^x + 3/e^x   +1.

Je pensais développer f(x)=(2x+3)e^-x     +1 mais je n'arrive pas à retrouver la forme de f(x) du dessus.

J'ai f(x) = (2x+3)e^-x  +1 = (2x*e^-x + 3*e^-x) + 1 Puis...voilà Je ne sais pas comment développer le reste, si 3*e^-x = 3e^-x...vraiment je ne sais pas

[Boltzmann_Solver]

Je suis dehors. Donc, je serai bref. Je détaillerai dès que j'aurai un PC sous la main. 

Tu es bien partie :). Il reste qu'une chose à voir. Tu as eu en 4e que 1/a^b = a^-b.

En appliquant cette dernière formule, la première partie de la question sera terminée. Il restera à calculer la limite, mais je pense que tu y arriveras.

Bonne chance !

[Boltzmann_Solver]

Me revoilou.

Tu as trouvé que : f(x) = (2x+3)e^-x  +1 = (2x*e^-x + 3*e^-x) + 1. Les parenthèses ne servent à rien ici. A la lumière de ce que j'ai raconté dans mon message vers 20h, pourrais tu finir la calcul. Il ne reste pas grand chose à faire. Essaye de me proposer un truc.

Pour la limite, si tu as vu les croissances comparées, c'est trivial. Sinon, il faudra un peu détailler, mais rien de dramatique .

J'attends de tes nouvelles. 

[fkatarina_alba]

Bonjour !
Pour le développement de f(x) = (2x+3)e^-x +1, j'ai :

=2x * e^-x  + 3  * e^-x  +1

=2x * 1/e^x  +  3*1/e^x   +1 !

=2x/e^x +3/e^x +1 !

Mais je suis censé trouver 2/e^x + 3/e^x + 1. Où est donc passé le x ??? >.<

 

 

[Boltzmann_Solver]

il y a 6 minutes, fkatarina_alba a dit :

Bon, jour !
Pour le développement de f(x) = (2x+3)e^-x +1, j'ai :

=2x * e^-x  + 3  * e^-x  +1

=2x * 1/e^x  +  3*1/e^x   +1 !

=2x/e^x +3/e^x +1 !

Mais je suis censé trouver 2/e^x + 3/e^x + 1. Où est donc passé le x ??? >.<

 

 

Bonjour :),

 

Relis le sujet que tu mis, il y a un x. Donc, cest bon. Tu as fini cette partie.

[fkatarina_alba]

Hm ?

Citation

*Montrer que pour tout nombre réel x : f(x) = 2 * x/e^x   +  3/e^x   +1.  Déterminer la limite de f en +infini. Donner l'équation de l'asymptote D de la courbe C.

J'ai fini avec 2x/e^x +3/e^x +1 ,il y a un x de trop dans mon résultat, où un d'oublié dans l'énoncé... Pourtant tout est bien écrit ... problème

[Boltzmann_Solver]

il y a 10 minutes, fkatarina_alba a dit :

Hm ?

J'ai fini avec 2x/e^x +3/e^x +1 ,il y a un x de trop dans mon résultat, où un d'oublié dans l'énoncé... Pourtant tout est bien écrit ... problème

Non, cest bien ecrit 2×x, donc cest bon.

[fkatarina_alba]

Je dois montrer que f(x)= 2   *   x/e^x   +  3/e^x    +1.

Il y a  pas écrit 2x je suis perdue là

[Boltzmann_Solver]

Tu sais que (a×b)/c = a x b/c

[fkatarina_alba]

Ah..uhm , fallait chercher dans les vieux souvenirs de collège... Oui évidemment, ça y est, on l'a 2 * x/e^x +3/e^x + 1

[Boltzmann_Solver]

il y a 9 minutes, fkatarina_alba a dit :

Ah..uhm , fallait chercher dans les vieux souvenirs de collège... Oui évidemment, ça y est, on l'a 2 * x/e^x +3/e^x + 1

Si tu as compris, c'est le plus important !!

Tu essayes de me faire la limite .

[fkatarina_alba]

Ensuite pour la limite de f(x)=2* x/e^x + 3/e^x +1, en +inf en décomposant j'ai :

lim 2 = 2,

lim x/e^x = 0,

lim 3/e^x = 0,

lim 1 = 1.

Donc par opérations sur les limites on a : 2*0=0, 0+0=0, 0+1=1. Donc lim f(x) =1 en +inf

[Boltzmann_Solver]

il y a 2 minutes, fkatarina_alba a dit :

Ensuite pour la limite de f(x)=2* x/e^x + 3/e^x +1, en +inf en décomposant j'ai :

lim 2 = 2,

lim x/e^x = 0,

lim 3/e^x = 0,

lim 1 = 1.

Donc par opérations sur les limites on a : 2*0=0, 0+0=0, 0+1=1. Donc lim f(x) =1 en =inf

Nickel ! Je ne sers à rien et c'est très bien comme ça :p.

Tu continues^^.

PS : il faudra rédiger le "2*0=0, 0+0=0, 0+1=1", hein .

[fkatarina_alba]

Oui ^^ y a des jours comme ça, où vient tout seul, sans difficultés.. Juste quelques jours...

Puis, si on a une limite, on a une asymptote, ici elle est horizontale d'équation y=1

 

(Tout paraît si simple aujourd'hui ... )

[Boltzmann_Solver]

il y a 2 minutes, fkatarina_alba a dit :

Oui ^^ y a des jours comme ça, où vient tout seul, sans difficultés.. Juste quelques jours...

Puis, si on a une limite, on a une asymptote, ici elle est horizontale d'équation y=1

 

(Tout paraît si simple aujourd'hui ... )

And carry on  

(Espérons que ça continue !!)

[Boltzmann_Solver]

PS : c'est juste. Mais avais-je vraiment besoin de le dire :p.

[fkatarina_alba]

Haha ^^, j'étais tellement dedans . Tant mieux !

 

Ensuite, pour montrer que cette asymptote coupe la courbe C au point B de coordonnées (-1.5;1), je n'ai qu'à tracer mon asymptote d'équation y=1 sur mon graph puis basta!

Hum... puis je dois étudier en justifiant soigneusement  la position de la courbe C par rapport à mon asymptote. hé bien... elle tend vers -infini, je crois. Enfin elle se rapproche de -infini

 

[Boltzmann_Solver]

à l’instant, fkatarina_alba a dit :

Haha ^^, j'étais tellement dedans . Tant mieux !

 

Ensuite, pour montrer que cette asymptote coupe la courbe C au point B de coordonnées (-1.5;1), je n'ai qu'à tracer mon asymptote d'équation y=1 sur mon graph puis basta!

Horreur, non ! Le dessin n'est jamais une preuve. Ca veut dire quoi quand deux courbes se croisent ?

[fkatarina_alba]

Ah bah oui! Si elles se croisent c'est qu'elles ont les mêmes coordonnées

[fkatarina_alba]

L'asymptote coupe la courbe au point d'ordonnée 1, soit le point B appartenant à la courbe C de coordonnées (-1,5;1)

[Boltzmann_Solver]

il y a 3 minutes, fkatarina_alba a dit :

Ah bah oui! Si elles se croisent c'est qu'elles ont les mêmes coordonnées

Exactement !

il y a 1 minute, fkatarina_alba a dit :

L'asymptote coupe la courbe au point d'ordonnée 1.  soit le point B appartenant à la courbe C de coordonnées (x;1)

C'est très bien pour le moment sauf le -1,5. Tu ne l'as pas prouvé. Comment le prouver à ton avis ?