Aide Dm 1Ère S

[bbgibi]

Bonjour !

Notre professeur nous a donné un dm, où le but de ce dm est d'entraîner une démarche libre (tout en se référant au cours de 1ère s évidemment ). Le problème est que je ne sais pas du tout par où commencer, et ou cela me mènera .

J'ai lu un topic sur ce site, où le sujet me paraissait assez semblable, mais j'ai l'impression que ça ne colle pas vraiment.

 

Voici l'énoncé de mon dm:

"Pour fabriquer une boite de conserve cylindrique d'un volume de 850 mL, une entreprise veut minimiser le coût en utilisant le moins de métal possible.

Comment doit-elle choisir le rayon et la hauteur de la boite afin de réaliser cet objectif ? (on ne tien pas compte de l'épaisseur du métal)"

 

Ainsi que le lien du topic que j'ai trouvé 

 

J'ai regardé les réponses de Barbidoux, mais j'ai l'impression que ça ne colle pas, même en changeant les valeurs avec les miennes :'(

J'en appelle donc à votre aide !

 

Merci d'avance !

[Barbidoux]

Il te suffit de prendre 

V=Pi*r^2*h ==> h=V/(Pi*r^2) 

comme V=0.85==> h=0.85/(Pi*r^2)

tu trouveras finalement r=5.1335 cm et h=10.267 ce qui donne bine un volume de 850 cm^3

[bbgibi]

Merci Barbidoux !

Seulement, je n'ai pas compris ce passage 

"La fonction A( r) est dérivable si (A( r+a)-A( r))/a tend vers une limite finie lorsque a->0

(A( r+a)-A( r))/a=(2*Pi*(r+a)^2+2/(r+a)-2*Pi*r^2-2/r)/a=(2*Pi*(2*r*a+a^2)-h/(r*(r+a))/a=(2*Pi*(2*r+a)-2/(r*(r+a))

Lorsque h->0 alors (A( r+a)-A( r))/a -> 2*Pi*2*r-2/(r^2) qui est une limite finie si r  0. La fonction A( r) est donc dérivable sur R+ et 

A'( r)=4*Pi*r-2/(r^2)"

J'essaye de l'appliquer, mais je comprends pas comment factoriser vu que je me retrouve avec h=850/(Pi*r^2)

(Je n'ai pas convertis 850, j'ai demander à mon prof de maths, et il m'a dit qu'il faut laisser 850 pour trouver en cm la surface ensuite)

 

Merci d'avance !

[Barbidoux]

Un fabricant de produits alimentaires veut utiliser des boites de conserve pour conditionner ses produits . On suppose qu'une boite de conserve est un cylindre parfait de contenance 1 litre .

Le fabricant cherche donc à déterminer les dimensions de la boite de conserve afin que :

- le volume contenu soit de 1 litre exactement

- la quantité de métal (supposée proportionnelle a l'aire totale du cylindre ) utilisée pour la fabriquer soit minimale .

1 - Soit r le rayon de la base du cylindre et h sa hauteur . Exprimer h en fonction de r .

V=Pi*r^2*h ==> h=V/(Pi*r^2) 

comme V=850 ==> h=850/(Pi*r^2)

2 - Établir que l'air totale du cylindre est donnée par :

A( r) = 2 * pi * r² + ( 2/ r )

Aire totale=A( r)=aire base + aire couvercle + 2*aire latérale du cylindre=2*Pi*r^2+2*Pi*r*h

A( r)=2*Pi*r^2+1700*Pi*r/(Pi*r^2)=2*Pi*r^2+1700/r

3 - Étudier la dérivabilité puis calculer la dérivée de la fonction A sur l'intervalle ]0; + inf [

La fonction A( r) est dérivable si (A( r+a)-A( r))/a tend vers une limite finie lorsque a->0

(A( r+a)-A( r))/a=(2*Pi*(r+a)^2+1700/(r+a)-2*Pi*r^2-1700/r)/a=(2*Pi*(2*r*a+a^2)-1700/(r*(r+a))/a=(2*Pi*(2*r+a)-1700/(r*(r+a))

Lorsque h->0 alors (A( r+a)-A( r))/a -> 2*Pi*2*r-1700/(r^2) qui est une limite finie si r  0. La fonction A( r) est donc dérivable sur R+ et 

A'( r)=4*Pi*r-1700/(r^2)

4 - En déduire les variations de la fonction A sur ]0; +inf[ Pour quelle valeur de r cette aire latérale est-elle minimale ?

Elle est minimale lorsque A'( r)=4*Pi*r-1700/(r^2)=0 ==> r^3=1/(2*Pi) ==> r=(1700/(4*Pi))^(1/3)=5.1335

Montrer que, dans ce cas, on a h = 2r

Dans ce cas A'( r)=4*Pi*r-1700/(r^2)=0 ==> 2*r=850/(Pi*r^2)=h

5- Quelles doivent être, au millimètre près les dimensions de la boite de conserve (rayon de la base et hauteur) pour répondre aux contraintes fixées par le fabricant ?

rayon base = 5.1335 cm

hauteur =10.267 cm

[Hugraf]

Le 25/03/2015 à 19:00, Barbidoux a dit :

Il te suffit de prendre 

V=Pi*r^2*h ==> h=V/(Pi*r^2) 

comme V=0.85==> h=0.85/(Pi*r^2)

tu trouveras finalement r=5.1335 cm et h=10.267 ce qui donne bine un volume de 850 cm^3

Bonsoir Barbidoux, j’ai actuellement un devoir sur cela, j’aimerai savoir le calcul detaillé que tu as utilisé pour trouver r=5,1335 et h=10,267 à partir de h =V/Pi*r^2 ? Merci d’avance.

[Barbidoux]

4 - En déduire les variations de la fonction A sur ]0; +inf[ Pour quelle valeur de r cette aire latérale est-elle minimale ?

Elle est minimale lorsque A'( r)=4*Pi*r-1700/(r^2)=0 ==> r^3=1/(2*Pi) ==> r=(1700/(4*Pi))^(1/3)=5.1335

Montrer que, dans ce cas, on a h = 2r

Dans ce cas A'( r)=4*Pi*r-1700/(r^2)=0 ==> 2*r=850/(Pi*r^2)=h