bonjour pouvez vous m'aider a cet exercice que je n'ai pas comprit
voici le sujet
l'objet de ce problème est d'etudier une fonction a l'zide d'une fonction auxiliaire
on rappelle le resultat
lim ln(1+x)/X=0
x tend 0
partie A etude d'une fonction auxiliaire
soit la fonction f définie sur l'intervalle ]-1;+inf[ par:
f(x)=x/x+1 -2ln(x+1)
1a. determiner la limite de f en +inf. On admettra que lim lim f(x)= -inf
xtend vers -1+
b. calculer la fonction derivée de f(x) sur ]-1;+inf[, etudier son signe et en deduire le tableau de variation de f.
2a. Calculer f(0)
2b. Montrer que l'equation f(x)=0 admet sur l'intervalle ]-1;+inf[ exactement deux solutions dont l'une que l'on designe par alpha, appartient à [-0,72;-0,71]
3 Donner le signe f(x) pour x appartenant à ]-1;+inf[
partie B: etude de G
Soit g la fonction define sur l'ensemble DG= ]-1;0[ U]0;+inf[ par
g(x)= ln(x+1)/x2
On note cg la courbe representative de g dans le repere du plan
1a. Calculer les limites de g(x) quand x tend vers 0 par valeurs inferieures et quand x tend vers 0 par valeur supérieur
b. Calculer lim g(x)
x tend vers -1+
c On pose pour tout réel x strictement positif, X=x+1. montrer l'égalité
g(x)= ln(x)/x*(X)/(x-1)2
en déduire lim g(x)
+inf
d Quelles consequences graphiques pour cg peut on tirer des questions 1a 1b 1c
2a Calculer la fonction derivée de g sur dg et deduire a l'aide la partie A son signe
2b Montrer que g(alpha)= 1/2*alpha(alpha+1)
en deduire une valeur approchée de g(alpha) en prenant alpha= -0,715
3 Dresser le tbaleau d variation de la fonction g
0
Dm De Maths
Débuté par soldier, janv. 25 2012 17:00
3 réponses à ce sujet
#2
Barbidoux
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Posté 25 janvier 2012 - 21:51
soldier, le 25 janvier 2012 - 17:00, dit :
bonjour pouvez vous m'aider a cet exercice que je n'ai pas comprit
voici le sujet qui demande à être vérifié ....
l'objet de ce problème est d'etudier une fonction a l'zide d'une fonction auxiliaire
on rappelle le resultat
lim ln(1+x)/X=0 ???
x tend 0
partie A etude d'une fonction auxiliaire
soit la fonction f définie sur l'intervalle ]-1;+inf[ par:
f(x)=x/x+1 -2ln(x+1) ou f(x)=x/(x+1) -2ln(x+1) ou f(x)=x/(x+1 -2ln(x+1))
1a. determiner la limite de f en +inf. On admettra que lim lim f(x)= -inf
xtend vers -1+
b. calculer la fonction derivée de f(x) sur ]-1;+inf[, etudier son signe et en deduire le tableau de variation de f.
2a. Calculer f(0)
2b. Montrer que l'equation f(x)=0 admet sur l'intervalle ]-1;+inf[ exactement deux solutions dont l'une que l'on designe par alpha, appartient à [-0,72;-0,71]
3 Donner le signe f(x) pour x appartenant à ]-1;+inf[
partie B: etude de G
Soit g la fonction define sur l'ensemble DG= ]-1;0[ U]0;+inf[ par
g(x)= ln(x+1)/x2
On note cg la courbe representative de g dans le repere du plan
1a. Calculer les limites de g(x) quand x tend vers 0 par valeurs inferieures et quand x tend vers 0 par valeur supérieur
b. Calculer lim g(x)
x tend vers -1+
c On pose pour tout réel x strictement positif, X=x+1. montrer l'égalité
g(x)= ln(x)/x*(X)/(x-1)2 ???
en déduire lim g(x)
+inf
d Quelles consequences graphiques pour cg peut on tirer des questions 1a 1b 1c
2a Calculer la fonction derivée de g sur dg ??? et deduire a l'aide la partie A son signe
2b Montrer que g(alpha)= 1/2*alpha(alpha+1) ou g(alpha)= 1/(2*alpha(alpha+1)) ???
en deduire une valeur approchée de g(alpha) en prenant alpha= -0,715
3 Dresser le tbaleau d variation de la fonction g
voici le sujet qui demande à être vérifié ....
l'objet de ce problème est d'etudier une fonction a l'zide d'une fonction auxiliaire
on rappelle le resultat
lim ln(1+x)/X=0 ???
x tend 0
partie A etude d'une fonction auxiliaire
soit la fonction f définie sur l'intervalle ]-1;+inf[ par:
f(x)=x/x+1 -2ln(x+1) ou f(x)=x/(x+1) -2ln(x+1) ou f(x)=x/(x+1 -2ln(x+1))
1a. determiner la limite de f en +inf. On admettra que lim lim f(x)= -inf
xtend vers -1+
b. calculer la fonction derivée de f(x) sur ]-1;+inf[, etudier son signe et en deduire le tableau de variation de f.
2a. Calculer f(0)
2b. Montrer que l'equation f(x)=0 admet sur l'intervalle ]-1;+inf[ exactement deux solutions dont l'une que l'on designe par alpha, appartient à [-0,72;-0,71]
3 Donner le signe f(x) pour x appartenant à ]-1;+inf[
partie B: etude de G
Soit g la fonction define sur l'ensemble DG= ]-1;0[ U]0;+inf[ par
g(x)= ln(x+1)/x2
On note cg la courbe representative de g dans le repere du plan
1a. Calculer les limites de g(x) quand x tend vers 0 par valeurs inferieures et quand x tend vers 0 par valeur supérieur
b. Calculer lim g(x)
x tend vers -1+
c On pose pour tout réel x strictement positif, X=x+1. montrer l'égalité
g(x)= ln(x)/x*(X)/(x-1)2 ???
en déduire lim g(x)
+inf
d Quelles consequences graphiques pour cg peut on tirer des questions 1a 1b 1c
2a Calculer la fonction derivée de g sur dg ??? et deduire a l'aide la partie A son signe
2b Montrer que g(alpha)= 1/2*alpha(alpha+1) ou g(alpha)= 1/(2*alpha(alpha+1)) ???
en deduire une valeur approchée de g(alpha) en prenant alpha= -0,715
3 Dresser le tbaleau d variation de la fonction g
Deux choses sont infinies : l’Univers et la bêtise humaine. Mais, en ce qui concerne l’Univers, je n’en ai pas encore acquis la certitude absolue."
Albert Einstein
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#3
soldier
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Posté 29 janvier 2012 - 14:48
Bonjour Mr barbidoux
pour la fonction f(x)= x/(x+1) -2ln(x+1)
lim ln(1+x)/X=1
x tend vers 0
g(x)= ln(x)/x*(X)/(x-1)2
1/(2*alpha(alpha+1))
voila la correction est faites
pour la fonction f(x)= x/(x+1) -2ln(x+1)
lim ln(1+x)/X=1
x tend vers 0
g(x)= ln(x)/x*(X)/(x-1)2
1/(2*alpha(alpha+1))
voila la correction est faites
#4
Barbidoux
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Posté 29 janvier 2012 - 21:11
partie A etude d'une fonction auxiliaire
soit la fonction f définie sur l'intervalle ]-1;+inf[ par:
f(x)=x/(x+1) -2ln(x+1)
1a. determiner la limite de f en +inf. On admettra que lim lim f(x)= -inf
x tend vers -1+
lorsque x->∞ alors x/(x+1) ->1 et ln(1+x) ->∞ ==> f(x) -> -∞
b. calculer la fonction derivée de f(x) sur ]-1;+inf[, etudier son signe et en deduire le tableau de variation de f.
f'(x)=-x/(1+x)^2-1/(1+x)=-(1+2*x)/(1-x^2)
x........(-1)........................(-1/2)............................
f'(x)................(+)................(0)..............(-)............
f(x).............crois..............max..........decrois.........
max=f(1/2)=0.386
2a. Calculer f(0)
f(0)=0
2b. Montrer que l'equation f(x)=0 admet sur l'intervalle ]-1;+inf[ exactement deux solutions dont l'une que l'on designe par alpha, appartient à [-0,72;-0,71]
f(0)=0 ==> 0 est solution de f(x)
f(-0.72)=-0.0254
f(-0.71)=0.0274 la fonction f(x) étant croissante sur ]-1, 1/2[ on en déduit que son graphe coupe l'axe des x en un point d'abscisse a tel que -0.72< a< -0.71
3 Donner le signe f(x) pour x appartenant à ]-1;+inf[
x........(-1).................(a)..................(0)............................
f(x) .............(-)..........(0).....(+)........(0)........(-)..............
partie B: etude de G
Soit g la fonction define sur l'ensemble DG= ]-1;0[ U]0;+inf[ par
g(x)= ln(x+1)/x^2
On note cg la courbe representative de g dans le repere du plan
1a. Calculer les limites de g(x) quand x tend vers 0 par valeurs inferieures et quand x tend vers 0 par valeur supérieur
Lorsque x-> 0+ alors comme ln(x+1)/x -> 0 et 1/x ->∞ on a une forme indéterminée et l'on fait appel à la règle de l'hôpital (nombre dérivé). f(x)=h(x)/k(x)
Lorsque x-> 0+ alors lim f(x)=lim h'(x)/k'(x)=(1/(1+x))/(2*x)=lim 1/(2*x) =+∞
Lorsque x-> 0- alors lim f(x)=lim h'(x)/k'(x)=(1/(1+x))/(2*x)=lim 1/(2*x) =-∞
b. Calculer lim g(x) lorsque x tend vers -1+
lorsque x-> -1+ alors lim f(x) ln(0^+)/1=-∞
c On pose pour tout réel x strictement positif, X=x+1. montrer l'égalité
X=x+1 ==> x=X-1 ==> f(X-1)=ln(X)/(X-1)^2=(ln(X)/X)*(X/(X-1)^2)
en déduire lim g(x) lorsque x -> ∞
Lorsque x-> ∞ alors (ln(X)/X)->0 et (X/(X-1)^2)->0 ==> g(x) ->0
d Quelles consequences graphiques pour cg peut on tirer des questions 1a 1b 1c
Asymptotes d'équation x=-1, x=0 et y=0
2a Calculer la fonction derivée de g sur dg ??? et deduire a l'aide la partie A son signe
g'(x)=1/(x^2*(1+x)-2*ln(x)/(x^3=(x/(x+1)-2ln(x+1) )/x^3=f(x)/x^3
2b Montrer que g(alpha)= 1/2*alpha(alpha+1) ou g(alpha)= 1/(2*alpha(alpha+1)) ???
en deduire une valeur approchée de g(alpha) en prenant alpha= -0,715
a est solution de f(x) ==> f(a)=0 ==> (a/(a+1)-2*ln(a+1)
g(a)= ln(a+1)/a^2 =1/(2*a*(a+1))
3 Dresser le tbaleau d variation de la fonction g
x............-1........................(a)............................0..........................
f(x) .............(-)..................(0).....(+).................(0)........(-)..............
x^3..............(-)............................(-)..................(0).......(+)..............
g'(x)............(+)...................(0).....(-)..................||.........(-)..............
g(x)..........crois.................Max....décrois...........||......décrois..........
soit la fonction f définie sur l'intervalle ]-1;+inf[ par:
f(x)=x/(x+1) -2ln(x+1)
1a. determiner la limite de f en +inf. On admettra que lim lim f(x)= -inf
x tend vers -1+
lorsque x->∞ alors x/(x+1) ->1 et ln(1+x) ->∞ ==> f(x) -> -∞
b. calculer la fonction derivée de f(x) sur ]-1;+inf[, etudier son signe et en deduire le tableau de variation de f.
f'(x)=-x/(1+x)^2-1/(1+x)=-(1+2*x)/(1-x^2)
x........(-1)........................(-1/2)............................
f'(x)................(+)................(0)..............(-)............
f(x).............crois..............max..........decrois.........
max=f(1/2)=0.386
2a. Calculer f(0)
f(0)=0
2b. Montrer que l'equation f(x)=0 admet sur l'intervalle ]-1;+inf[ exactement deux solutions dont l'une que l'on designe par alpha, appartient à [-0,72;-0,71]
f(0)=0 ==> 0 est solution de f(x)
f(-0.72)=-0.0254
f(-0.71)=0.0274 la fonction f(x) étant croissante sur ]-1, 1/2[ on en déduit que son graphe coupe l'axe des x en un point d'abscisse a tel que -0.72< a< -0.71
3 Donner le signe f(x) pour x appartenant à ]-1;+inf[
x........(-1).................(a)..................(0)............................
f(x) .............(-)..........(0).....(+)........(0)........(-)..............
partie B: etude de G
Soit g la fonction define sur l'ensemble DG= ]-1;0[ U]0;+inf[ par
g(x)= ln(x+1)/x^2
On note cg la courbe representative de g dans le repere du plan
1a. Calculer les limites de g(x) quand x tend vers 0 par valeurs inferieures et quand x tend vers 0 par valeur supérieur
Lorsque x-> 0+ alors comme ln(x+1)/x -> 0 et 1/x ->∞ on a une forme indéterminée et l'on fait appel à la règle de l'hôpital (nombre dérivé). f(x)=h(x)/k(x)
Lorsque x-> 0+ alors lim f(x)=lim h'(x)/k'(x)=(1/(1+x))/(2*x)=lim 1/(2*x) =+∞
Lorsque x-> 0- alors lim f(x)=lim h'(x)/k'(x)=(1/(1+x))/(2*x)=lim 1/(2*x) =-∞
b. Calculer lim g(x) lorsque x tend vers -1+
lorsque x-> -1+ alors lim f(x) ln(0^+)/1=-∞
c On pose pour tout réel x strictement positif, X=x+1. montrer l'égalité
X=x+1 ==> x=X-1 ==> f(X-1)=ln(X)/(X-1)^2=(ln(X)/X)*(X/(X-1)^2)
en déduire lim g(x) lorsque x -> ∞
Lorsque x-> ∞ alors (ln(X)/X)->0 et (X/(X-1)^2)->0 ==> g(x) ->0
d Quelles consequences graphiques pour cg peut on tirer des questions 1a 1b 1c
Asymptotes d'équation x=-1, x=0 et y=0
2a Calculer la fonction derivée de g sur dg ??? et deduire a l'aide la partie A son signe
g'(x)=1/(x^2*(1+x)-2*ln(x)/(x^3=(x/(x+1)-2ln(x+1) )/x^3=f(x)/x^3
2b Montrer que g(alpha)= 1/2*alpha(alpha+1) ou g(alpha)= 1/(2*alpha(alpha+1)) ???
en deduire une valeur approchée de g(alpha) en prenant alpha= -0,715
a est solution de f(x) ==> f(a)=0 ==> (a/(a+1)-2*ln(a+1)
g(a)= ln(a+1)/a^2 =1/(2*a*(a+1))
3 Dresser le tbaleau d variation de la fonction g
x............-1........................(a)............................0..........................
f(x) .............(-)..................(0).....(+).................(0)........(-)..............
x^3..............(-)............................(-)..................(0).......(+)..............
g'(x)............(+)...................(0).....(-)..................||.........(-)..............
g(x)..........crois.................Max....décrois...........||......décrois..........
Deux choses sont infinies : l’Univers et la bêtise humaine. Mais, en ce qui concerne l’Univers, je n’en ai pas encore acquis la certitude absolue."
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