Besoin D'aide Pour Mon Dm ...

[marine.r]

Bonjour à tous

J'ai besoin de votre aide pour mes deux derniers exercices ...

Ex 1 :

Soit f la fonction définie sur R par :

f(x) = ( -3x²+2x-3 ) / ( x²+1 )

Démontrer que, pour tout x € [-7; 7] on a :

-4 =< f(x) =< -2

Ex 2 :

un fabricant de produits alimentaires veut utiliser des boites de conserve pour conditionner ses produits . On suppose qu'une boite de conserve est un cylindre parfait de contenance 1 litre .

Le fabricant cherche donc à déterminer les dimensions de la boite de conserve afin que :

- le volume contenu soit de 1 litre exactement

- la quantité de métal (supposée proportionnelle a l'aire totale du cylindre ) utilisée pour la fabriquer soit minimale .

1 - Soit r le rayon de la base du cylindre et h sa hauteur . Exprimer h en fonction de r .

2 - Établir que l'air totale du cylindre est donnée par :

A® = 2 * pi * r² + ( 2/ r )

3 - Étudier la dérivabilité puis calculer la dérivée de la fonction A sur l'intervalle ]0; + inf [

4 - En déduire les variations de la fonction A sur ]0; +inf[ Pour quelle valeur de r cette aire latérale est-elle minimale ?

Montrer que, dans ce cas, on a h = 2r

5- Quelles doivent être, au millimètre près les dimensions de la boite de conserve (rayon de la base et hauteur) pour répondre aux contraintes fixées par le fabricant ?

Merci beaucoup d'avance

[Barbidoux]

1-----------

f(x)=(-3*x^2 + 2*x - 3)/(x^2 + 1)

Lorsque x-> ∞ alors lim f(x)= lim -3*x^2/x^2=-3

Lorsque x->- ∞ alors lim f(x)= lim -3*x^2/x^2=-3

---------

f'(x)=(2 - 6*x)/(x^2+1)-(2*x*(-3 x^2+2*x-3))/(x^2+1)^2=-2 (x^2-1)/(x^2+1)^2=-2*(x+1)*(x-1)/(x^2+1)^2

x..........(-∞).......................(-1)........................(1)............................(∞)

f'(x).......................(-)........Min.......(+)...........Max........(-)...................

f(x).......(-3).......decrois..(-4)......crois.........(-2)....crois...............(-3)

----------

Conclusion -4<f(x) <-2

[Barbidoux]

Ex 2 :

un fabricant de produits alimentaires veut utiliser des boites de conserve pour conditionner ses produits . On suppose qu'une boite de conserve est un cylindre parfait de contenance 1 litre .

Le fabricant cherche donc à déterminer les dimensions de la boite de conserve afin que :

- le volume contenu soit de 1 litre exactement

- la quantité de métal (supposée proportionnelle a l'aire totale du cylindre ) utilisée pour la fabriquer soit minimale .

1 - Soit r le rayon de la base du cylindre et h sa hauteur . Exprimer h en fonction de r .

V=Pi*r^2*h ==> h=V/(Pi*r^2)

comme V=1 ==> h=1/(Pi*r^2)

2 - Établir que l'air totale du cylindre est donnée par :

A( r) = 2 * pi * r² + ( 2/ r )

Aire totale=A( r)=aire base + aire couvercle + 2*aire latérale du cylindre=2*Pi*r^2+2*Pi*r*h

A( r)=2*Pi*r^2+2*Pi*r/(Pi*r^2)=2*Pi*r^2+2/r

3 - Étudier la dérivabilité puis calculer la dérivée de la fonction A sur l'intervalle ]0; + inf [

La fonction A( r) est dérivable si (A( r+a)-A( r))/a tend vers une limite finie lorsque a->0

(A( r+a)-A( r))/a=(2*Pi*(r+a)^2+2/(r+a)-2*Pi*r^2-2/r)/a=(2*Pi*(2*r*a+a^2)-h/(r*(r+a))/a=(2*Pi*(2*r+a)-2/(r*(r+a))

Lorsque h->0 alors (A( r+a)-A( r))/a -> 2*Pi*2*r-2/(r^2) qui est une limite finie si r 0. La fonction A( r) est donc dérivable sur R+ et

A'( r)=4*Pi*r-2/(r^2)

4 - En déduire les variations de la fonction A sur ]0; +inf[ Pour quelle valeur de r cette aire latérale est-elle minimale ?

Elle est minimale lorsque A'( r)=4*Pi*r-2/(r^2)=0 ==> r^3=1/(2*Pi) ==> r=(1/(2*Pi))^(1/3)=0.542 dm

Montrer que, dans ce cas, on a h = 2r

Dans ce cas A'( r)=4*Pi*r-2/(r^2)=0 ==> 2*r=1/(Pi*r^2)=h

5- Quelles doivent être, au millimètre près les dimensions de la boite de conserve (rayon de la base et hauteur) pour répondre aux contraintes fixées par le fabricant ?

rayon base = 5.4 cm

hauteur =10.8 cm

[Santurions]

Coucou, apparement je n'étais pas le seul a avoir ce dm^^ Barbidoux en tous cas merci infiniement j'avais pas compris comment le 2/r et grâce a toi j'ai tous compris mais juste pour la dérivabilité j'ai pas fais aussi compliquer j'ai juste dit que c'était une fonction rationnel et don dérivable sur R* ^^ j'aimerais avoi ta comfirmattion (juste u cas où) et encoe merci beaucoup

[Barbidoux]

Oui on aurait pu utiliser le théorème suivant :

u et v sont deux fonctions dérivables en x. On suppose également que v(x) est non nul.

Si ces trois conditions sont vérifiées alors la fonction u/v est dérivable en x.

[phoenixfire]

Bonjour, j'ai juste une petite question concernant la question 2 du 2ème exercice: quand tu marques ceci 2*Pi*r^2+2*Pi*r*h

A( r)=2*Pi*r^2+2*Pi*r/(Pi*r^2 où est passé le h ???

[Barbidoux]

Bonjour, j'ai juste une petite question concernant la question 2 du 2ème exercice: quand tu marques ceci 2*Pi*r^2+2*Pi*r*h

A( r)=2*Pi*r^2+2*Pi*r/(Pi*r^2 où est passé le h ???

[venenum]

Bonjour Barbidoux

J'aimerai vous posez une question ..

Comment, dans la question 4 "montrer, qua dans ce cas, on a h=2r" vous arrivez à passer de A'®= (4*pi*r-2)/r² à 2r=1/(pi*r²)=h ??

Est ce que vous pourriez développer un peu plus, s'il vous plait ?!

Merci d'avance, bonne journée !

[Barbidoux]

A'( r)=4*Pi*r-2/(r^2)=0 ==> (4*Pi*r^3-2)/(r^2)=0 ==> 4*Pi*r^3-2=0 ==> r^3=1/(2*π) ==> r=(1/(2*π))^(1/3)

[venenum]

Ah oui d'accord !!

Merci beaucoup Barbidoux !

[clem2830]

J'ai fait toutes les questions sauf la 4 et la 5, en effet je ne comprends pas comment établir le tableau de variations. Lorsque je le fais ma fonction est croissante sur 1/2Pi et +infinie ... Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?  

[pzorba75]

Commence ton message en étant polie, tu réduis tes chances en te limitant à donner des ordres.

[clem2830]

Et bien je crois avoir été assez polie maintenant s'il faut se mettre à genoux pour avoir de l'aide c'est une chose que je ne ferais pas. Si cela vous déranges à ce point je peux aller voir ailleurs... C'est la première fois que je m'inscris sur un site d'aide aux devoirs, moi qui pensais avoir choisis le bon... je crois que c'est raté. Encore merci ! 

[pzorba75]

Tu as tout compris.

[camouille2]

Bonjour a tous, j'ai l'impression que se DM existe encore aujourd'hui 

J'ai un problème pour la question 5 de l'exercice 2 je ne comprend pas comment vous faite pour trouver ces résultats si vous pourriez developer un peu plus.......

Merci d'avance !!

[Barbidoux]

Il te suffit de regarder les résultats des deux questions précédentes

4 - En déduire les variations de la fonction A sur ]0; +inf[ Pour quelle valeur de r cette aire latérale est-elle minimale ?

Elle est minimale lorsque A'( r)=4*Pi*r-2/(r^2)=0 ==> r^3=1/(2*Pi) ==> r=(1/(2*Pi))^(1/3)=0.542 dm

Montrer que, dans ce cas, on a h = 2r

Dans ce cas A'( r)=4*Pi*r-2/(r^2)=0 ==> 2*r=1/(Pi*r^2)=h

5- Quelles doivent être, au millimètre près les dimensions de la boite de conserve (rayon de la base et hauteur) pour répondre aux contraintes fixées par le fabricant ?

rayon base r= 5.4 cm

hauteur h=2*r=10.8 cm

 

 

[camouille2]

Super !!!!!! Merci beaucoup !!!!