Fonction Exponentielle Récalcitrante

[beubeu]

Bonjour , j'ai quelque difficulté sur un exercice sur les fonctions exponentielle je succite donc votre aide

Partie A :

Soit la fonction g définie sur R par g(x) = e^x + x + 1

1) Calculer les limites de g en +infini et en - infini

2) Etudier les varations de g sur R

3) a) Démontrer que l'équation g(x)=0 admet sur R une unique solution que l'on note alpha

b) Donner un encadrement de alpha à 10^-2 près

4) En déduire le signe de g(x) sur R

Partie B :

Soit la fonction f définie par f(x)=xe^x/e^x + 1 . On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( O,i,j)

1) Justier que F est définie sur R

2) a) Déterminer la limite de f en - infini et interpréter graphiquement le résultat

b) Calculer la limite de f en + infini

c) Démontrer que la droite delta d'équation y = x est asymptote à C

d) Etudier la position de C par rapport à delta

3) a) Justifier que f est dérivable sur R et vérifier que f'(x)=e^x(gx)/(e^x+1)²

b) En déduire les variations de F sur R

4) a) Montrer que f(alpha)= alpha + 1

b) En déduire un encadrement de f(alpha) à 10^-1 près

5) a) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0

b) Etudier les positions de C par rapport à T

Je vais vous montrer ce que j'ai fais, pour la Partie A tout va bien je bloque à la Partie B

Partie A :

1) quand x-> + infini lim g(x)= + infini

quand x-> - infini lim g(x)= - infini

2) g'(x)= e^x +1

g'(x) est positif sur R et g(x) est strictement croissante sur R

4) j'ai dis que :

g(x) inférieur ou égale à 0 sur ]-infini ; alpha ]

g(x) supérieur ou égale à 0 sur[alpha ; + infini [

Partie B :

1) e^x > 0 donc ne s'annule jamais en 0 donc définie sur R

2) a) quand x-> - infini lim f(x)= 0 , assymptote horizontale en - infini d'équation y=0

Par contre je bloque à partir de la 2)b je tombe sur une forme indéterminer que je n'arrive pas a enlever et apres je sais pas trop comment faire pour la 2) c , d et 4) a

[Barbidoux]

Soit la fonction g définie sur R par g(x) = e^x + x + 1

1) Calculer les limites de g en +infini et en - infini

--------------------

Lorsque x-> -∞ alors g(x)=exp(-∞)-∞+1 -> -∞

Lorsque x-> ∞ alors g(x)=exp(∞)-∞+1 -> ∞

--------------------

2) Etudier les varations de g sur R

--------------------

g(x)=exp(x)+1 >0 qq qoit x donc fonction croissante

--------------------

3) a) Démontrer que l'équation g(x)=0 admet sur R une unique solution que l'on note alpha

--------------------

g(x) fonction croissante

g(0)=2 et g(-2)=-0,865 ==> le graphe de g(x) coupe l'axe des abscisses en un point dont l'abscisse est solution de g(x)=0.

--------------------

b) Donner un encadrement de alpha à 10^-2 près

--------------------

La valeur de alpha est déterminée par dichotomie -1,278< alpha < -1.279

--------------------

4) En déduire le signe de g(x) sur R

-------------------

x.....................alpha.....................

g(x).....(-).........(0)..........(+)..........

-------------------

Partie B :

Soit la fonction f définie par f(x)=xe^x/e^x + 1=x+1 ???

ne serais-ce pas plutôt f(x)=x*e^x/(e^x + 1) ???

[beubeu]

Merci barbidoux , mais la Partie A , je l'avais déjà faite (comme expliqué au dessus) , c'est la partie B que je bloque totalement

Moi et les paranthése sa fais 2^^

Oui oui enfête c'est f(x)= (xe^x)/((e^x) + 1 )) en bas c'est "exp(x) +1 "

désolé

[beubeu]

?

f(x)= (xe^x)/((e^x) + 1 )) en bas c'est "exp(x) +1 "

[Barbidoux]

Partie B :

Soit la fonction f définie par f(x)=x*exp(x)/(exp(x) + 1) . On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( O,i,j)

1) Justier que F est définie sur R

-----------------

exp(x)+1 et x*exp(x)>0 sont des fonction et définie sur R donc leur rapport est défini sur R

-----------------

2) a) Déterminer la limite de f en - infini et interpréter graphiquement le résultat

b) Calculer la limite de f en + infini

c) Démontrer que la droite delta d'équation y = x est asymptote à C

d) Etudier la position de C par rapport à delta

----------------

Lorsque x-> - ∞ alors exp(x)<<1 et lim f(x)=x*exp(x)/(exp(x) + 1)=lim x*exp(x)/1=x -> 0.

Lorsque x-> ∞ alors exp(x)>>1 et lim f(x)=x*exp(x)/(exp(x) + 1)=lim x*exp(x)/exp(x)=x -> ∞ et la droite y=x est asymptote au graphe de f(x). Comme f(x)-x=-x/(exp(x) + 1) ->0^(-) le graphe de f(x) tend vers celui de son asymptote par valeurs inférieures.

----------------

3) a) Justifier que f est dérivable sur R et vérifier que f'(x)=e^x(gx)/(e^x+1)²

----------------

x*exp(x) étant dérivable et 1/(exp(x) + 1) aussi leur rapport l'est.

f'(x)=exp(x)/(1 +exp(x)) - (x*exp(2x))/(1 + exp(x))^2 + (x*exp(x))/(1 +exp(x))=exp(x)*(exp(x)+x+1)/(1+exp(x))^2=exp(x)*g(x)/(exp(x)+1)^2

----------------

b) En déduire les variations de F sur R

x..................................alpha.................................

f'(x).............(-)...............(0)...............(+)................

f(x)...........decrois.......Min...........crois..................

-----------------

4) a) Montrer que f(alpha)= alpha + 1

----------------

on pose alpha=a

f(a)=a*exp(a)/(exp(a)+1)

or a est solution de exp(x)+x+1 ==> exp(a)+a+1=0 ==> exp(a)=-(a+1) ==> f(a)=a+1

----------------

b) En déduire un encadrement de f(alpha) à 10^-1 près

----------------

f(alpha)=a+1 ==> -0,278< f(a)<-0,279

----------------

5) a) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0

----------------

La tangente T a pour équation y=f'(0)*x+f(0)=x/2

----------------

b) Etudier les positions de C par rapport à T

----------------

f(x)-x/2=exp(x)/(1+exp(x)) -x/2=x*(exp(x)-1)/(2*(exp(x)+1) >0 qq soit x et le graphe de C est au dessus de celui de sa tangente pour toute valeur de x

[beubeu]

merci