Dm Ts Plan Complexe

[Nigel Marven]

Bonjour à tous, voilà j'ai, comme la plupart du temps, quelques difficultés avec mon DM. J'ai réussi la question 1 mais le reste je cale. Je voulais savoir si quelqu'un aurait pu m'aider. Je vous remercie déjà d'avance.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O, u, v). On prendra pour unité graphique 5 cm.

On pose z0=2 et, pour tout entier naturel n, zn+1=((1-i)/2)*zn. On note An le point d'affixe zn.

1. Calculer z1, z2, z3, z4 et vérifier que z4 est un nombre réel. Placer les points A0, A1, A2, A3 et A4 sur une figure.

2. Pour tout entier naturel n, on pose un= l zn l (l zn l étant le module de zn)

Justifier que la suite (un) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier n, un = 2(1/ 2)^n

3. A partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1?

4.a. Etablir que, pour tout entier naturel n, ((zn+1)-(zn))/zn+1=-i.

En déduire la nature du triangle OAnAn+1

4.b. Pour tout entier naturel n, on note ln la longueur de la ligne brisée A0A1A2...An-1An

On a ainsi ln=A0A1+A1A2+...+An-1An. Exprimer ln en fonction de n.

Quelle est la limite de la suite (ln)?

[elp]

z(0)=2

z(1)=1-i

z(2)=(1/2)(1-i)(1-i)=(1/2)(-2i)=-i

z(3)=(1/2)(1-i)(-i)=(1/2)(-i-1)

z(4)=(1/2)(1-i)(1/2)(-i-1)=(-1/4)(1-i)(1+i)=-1/2

pour tout n

z(n+1)=(1/2)(1-i)z(n)

u(n+1)=(1/2)ll1-i)llu(n)=(1/2)rac(2)u(n)=(rac(2)/2)u(n)

on a une suite géo de raison rac(2)/2 et le 1er terme est 2

u(n)=[rac(2)/2]^n*u(o)=2*[rac(2)/2]^n=z(0)=2

z(1)=1-i

z(2)=(1/2)(1-i)(1-i)=(1/2)(-2i)=-i

z(3)=(1/2)(1-i)(-i)=(1/2)(-i-1)

z(4)=(1/2)(1-i)(1/2)(-i-1)=(-1/4)(1-i)(1+i)=-1/2

pour tout n

z(n+1)=(1/2)(1-i)z(n)

u(n+1)=(1/2)ll1-i)llu(n)=(1/2)rac(2)u(n)=(rac(2)/2)u(n)

on a une suite géo de raison rac(2)/2 et le 1er terme est 2

u(n)=[rac(2)/2]^n*u(o)=2*[rac(2)/2]^n=2*[1/rac(2)]^n

il faut trouver n pour que 2*[rac(2)/2]^n <0.1

[rac(2)/2]^n<0.05

n ln([rac(2)/2)<ln(0.05)

n>ln(0.05)/ln(rac(2)/2)

n>8.64... dc à partir de n=9 ...........

z(n+1)-z(n)=(1/2)(1-i)z(n)-z(n)=z(n)[1/2-i/2-1]=z(n)(-1/2-i/2)=(-1/2)(1+i)z(n)

[z(n+1)-z(n)]/z(n+1)=(-1/2)(1+i)z(n)/(1/2)(1-i)z(n)=-1(1+i)/(1-i)=-(1+i)²/[(1-i)(1+i)]=-(1+2i-1)(2)=-i

le rapport est un imaginaire pur dc les vecteurs An+1An et OAn+1 sont orthogonaux et le tr OAnAn+1 est rectangle en An+1

pour la dernière question:

le tr AnAn+1 étant rectangle en An+1, on a OAn²=OAn+1²+AnAn+1²

dc AnAn+1²=OAn²-OAn+1²=u(n)²-u(n+1)²=

[2*[1/rac(2)]^n]²-[2*[1/rac(2)]^(n+1)]²=[2[1/rac(2)^n]²[1-[1/rac(2)²]=

4[(1/rac(2)^n]²(1-1/2)=2[1/rac(2)^n]²

AnAn+1=rac(2)*(1/rac(2))^n

de même An+1An+2=rac(2)(1/rac(2))^(n+1)

les différents morceaux de la ligne polygonales sont en progression géom de raison 1/rac(2)

il suffit de savoir calculer la somme de ses n premiers termes

je te laisse finir..

(vérifie qd même mes derniers calculs)

[Barbidoux]

l'ami elp a été plus rapide, mais j'envoie ce que j'ai fait .... l'abondance de biens ne nuit pas forcément

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Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O, u, v). On prendra pour unité graphique 5 cm.

On pose z0=2 et, pour tout entier naturel n, zn+1=((1-i)/2)*zn. On note An le point d'affixe zn.

1------------------------

|| (1-i)/2 ||= 2 /2 ==> (1-i/2)= 2 *( 2/2 -i* 2/2)/2

= 2 *(Cos(Pi/4)-i*sin(Pi/4) =( 2 /2)*exp(-i*Pi/4)

Z₀=2

Z₁=Z₀*( 2 /2)*exp(-i*Pi/4)=2**( 2 /2)*exp(-i*Pi/4)

Z₂=2*( 2 /2)^2*exp(-i*Pi/2)

Z₃=2*( 2 /2)^3*exp(-i*3*Pi/2)

Z₄=2*( 2 /2)^4*exp(-i*Pi)

...........................

Z_n=2*( 2 /2)^n*exp(-i*n*Pi/4)

Z₄=2*( 2 /2)^4*exp(-i*Pi)=2*( 2 /2)^4 =1/2 est bien un réel

2---------------------------

u_n= ||Z_n||=2*( 2 /2)^n est une suite géométrique de premier terme 2 et de raison ( 2 /2)

3---------------------------

les points A_n appartiennent au disque de centre O et de rayon 0,1 lorsque u_n 0,1 ==> 2*( 2 /2)^n <0,1 ==> ( 2 /2)^n 0,1/2 ==> n* ln( 2 /2) ln(0,05) ==> n > = ln(0,05)/ ln( 2 /2) ==> n >=9

Vérification 2*( 2 /2)^9=0,088

4---------------------------

z_n+1=(1-i)*z_n/2=z_n/(1+i)

==> z_n+1*(1+i)=z_n

==> z_n+1+z_n+1*i=z_n

==> (z_n+1- z_n)= -z_n+1*i

==>(z_n+1- z_n)/z_n+1=-i

z_n+1=z_n*( 2 /2)*exp(-i*Pi/4)

A_n+1 est onbtenu par une rotation du vecteur OA_n+1 d’angle - Pi/4. ||OA_n+1 ||=|| OA_n ||*( 2 /2)=|| OA_n ||*Cos(Pi/4) donc A_n+1 est le projeté orthogonal de A_n sur OA_n+1 et le triangle OA_nA_n+1 est rectangle en A_n+1 et le coté A_nA_n+1 vaut OA_n*Sin(Pi/4)=OA_n*( 2 /2) le triangle OA_nA_n+1 est rectangle et isocèle et :

ln= A₀A₁ + A₁A₂+ ......+ A_nA_n+1= u₁+u₂+... +u_n =2*( 2 /2)+ 2( 2 /2)^2+.......+ ( 2 /2)^n

=2*( 2 /2)*(1+( 2 /2)+( 2 /2)^2+.......+ ( 2 /2)^(n-1))

On sait que lorsque 0<x<1 ==> Somme (1+x+x^2+........x^( ))=1/(1-x) donc

Lorsque n-> Lim ln= 2*( 2 /2)*1/(1- 2 /2)=4,829

Sauf erreur de ma part.....

[Nigel Marven]

Et bien je suis heureux d'avoir l'avis des 2 meilleurs de ce forum. JE vous remercie beaucoup et à toi aussi barbidoux qui a bien voulu donner également le fruit de tes recherches. Je pense que je réussirais cette fois