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  1. développement limité avec une intégrale

    On a donc G(x)=xF(x) -> F(x)=G(x)/x=x-x^5/6+o(x^5) (car G(x)=x2-x6/6+o(x6)) Ce DL au voisinage de 0 montre que F est prolongeable par continuité en ce point, où elle vaut 0. La dérivée est F'=1-5x4/6+o(x4) Comme F'(0)=1, la tangente à la courbe à l'origine a pour équation y=x.
  2. développement limité avec une intégrale

    Bonjour, Vous avez changé de pseudo depuis hier ? Si on vous fait calculer G' c'est pour s'en servir. Faire le DL de G' à l'ordre 5 au voisinage de 0 puis intégrer terme à terme. La valeur de G en 0 déterminera la constante d'intégration.
  3. Développement limité

    Ce n'est rien d'autre que la formule de Taylor avec reste d'Young au voisinage de 1. Mais c'est aussi le DL au voisinage du même point. Donc ayant calculé ce DL sans calculer les dérivées, mais par produit ou composition de DL classiques, on obtient les dérivées cherchées par simple identification.
  4. Développement limité

    Bonsoir, Elles vont se trouver ipso facto calculées. On aura f(x)=f(1)+(x-1)f'(1)+((x-1)2/2) f"(1)+((x-1)3/6) f(3)(1)+((x-1)4/24) f(4)(1)+ o((x-1)4) D'où déjà l'ordre où il faut aller. Ensuite ayant posé h=x-1, faire le DL en h en effectuant le produit des DL connus puis identifier.
  5. dérivation ts

    OK. Le plus simple effectivement est d'utiliser cos2x=1-2sin2x avant de dériver.
  6. dérivation ts

    Ben non, parce qu'il faut dériver le produit f(x)=sin(x) cos(2x) et pas cos(2x) tout seul.
  7. dérivation ts

    Bonsoir, Il faut connaître ces formules : cos2x=2cos2x-1=1-2sin2x J'ajoute si l'on veut faire le calcul direct, que cos(2x) est une fonction composée. La dérivée par rapport à x de cos(u(x))=-u'sin(u(x)).
  8. théorème bijection

    C'est pas moi qui l'ai dit . Oui, sin(pi/2)=1 et 12=1
  9. théorème bijection

    Bonsoir, D'où sort cette valeur étrange (et fausse) de sin2(pi/2) ??
  10. Fonction affine

    Oui, ça c'est faux. Il faut commencer par écrire les équations f(6)=-2=..., puis f(-2)=2=... OK, je laisse..
  11. Fonction affine

    Une fonction affine est de la forme f(x)=ax+b En écrivant f(6) = -2 et f(-2) =2 on obtient un système de 2 équations à 2 inconnues, a et b, qu'il suffit de résoudre.
  12. développement limité

    D'ordre n, oui, on note alors f(x)=O((x-a)n), (ce qui signifie que f(x) et (x-a)n sont du même ordre de grandeur au voisinage de a), mais ici il s'agissait d'ordre supérieur à n au voisinage de 0. Et dans ce cas, f(x) est négligeable devant xn et le rapport f(x)/xn tend vers 0 quand x-> 0 (en langage imagé, f(x) tend vers 0 beaucoup plus vite que xn ).
  13. développement limité

    Un "infiniment petit d'ordre supérieur à n" est un terme h(x) tel que lim x->0 h(x)/xn=0. On dit aussi qu'il est négligeable devant xn, et l'on note h(x)=o(xn) (notation de Landau, désormais plus souvent adoptée dans les livres d'Analyse). Or ici, h(x)=xnε(x)/xn=ε(x) ->0 par hypothèse (définition d'un DL à l'ordre n , cf ce que je disais hier). xnε(x) est donc bien un infiniment petit d'ordre supérieur à n.
  14. développement limité

    Bonjour C8H10N4O2 et bonne année à vous. Je ne présenterais pas les choses tout à fait comme ça. Pour que a0 + a1x + a2.x2 +...+ anxn + xn.ε(x) soit le DL à l'ordre n d'une certaine fonction x->f(x) au voisinage de 0, il faut que xn.ε(x) soit négligeable devant xn, donc soit un infiniment petit d'ordre supérieur à n. C'est d'abord une question de définition. Mais c'est aussi une garantie quant à la précision de l'approximation. Lorsqu'on effectue des DL de fonctions composées à un ordre un peu élevé, tout l'art consiste d'ailleurs à bien prendre en compte tous les termes concernés, sans en oublier. Mais peut-être n'ai-je pas répondu à la vraie question ?
  15. fonction exponentielle

    Bonjour, Quand on écrit les formules "en ligne" il faut des parenthèses !! f(x)= x/(ex-x) Il faut mettre en facteur le terme dominant. Quand x->+oo, on écrira f(x)= x e-x/(1-xe-x) puis on utilisera les résultats sur les croissances comparées. Quand x-> -oo, on écrira f(x)= 1/(ex/x-1) Déjà comprendre d'où sortent ces mises en facteurs, ensuite, trouver les limites. Avant minuit, bien entendu. D'ailleurs, il n'y a plus rien à trouver.