CitronVert

Ce n'est pas du chipotage par contre je ne comprends pas exactement quelle partie de la démonstration te pose problème. Les seuls "postulats" sont les axiomes classiques: entiers/réels et quantificateurs, par exemple que 2 réels peuvent toujours être multipliés, que a*b=b*a, etc. J'imagine que tu ne mets pas ceux-là en doute, mais si c'est le cas alors il faut que tu ouvres un bouquin de maths fondamentales (ce que je ne te conseille pas car toute cette partie est considérée comme admise dans 99.99% des cursus maths/physique). En plus "light" tu peux lire les premiers chapitres d'un livre de 1ère année de prépa où cette partie est abordée de façon assez digérable. Oui facilement mais il faut savoir ce que ^n signifie. Pour n entier positif, la puissance est définie par récurrence de cette façon: soit y dans R, on pose y^0 = 1 et pour tout n, y^(n+1) = y^n * y. Un peu moins formellement, y^n est "y multiplié par lui même n fois". Or par définition/axiomes des réels la multiplication de 2 réels est toujours un réel donc toutes les puissances y^n sont définies (démonstration par récurrence triviale). On a donc montré que, quasiment par définition, pour y réel, y^n est toujours réel. Note qu'il faut que n soit entier positif pour que cette démonstration marche, pour n entier relatif la définition change (divisions) et donc la démonstration change aussi, et elle change encore pour n réel (logarithmes). Pas sûr de comprendre la question, mais l'une des premières choses qu'on montre en prépa est que pour tous a,b réels, les expressions suivantes restent définies et réelles: a+b, a-b, a*b, a^n, et a/b si b est non nul. Donc y^n est réel, donc (y^n) - 1 est réel . On en déduit assez facilement que toute combinaison y^n + a* y^(n-1) + ... est réelle et donc la validité des polynômes. Tout cela prend des heures, et à force d'usage toute la partie définition/validité est passée car considérée comme évidente dans ce genre d'exercices, mais fondamentalement elle ne l'est pas pour quelqu'un qui ne l'a jamais vue auparavant (notamment si tu es au lycée - on a pas le temps de voir les définitions correctement avec 4h par semaine donc on les passe et on espère que les élèves ne se poseront pas des questions trop fondamentales)

Quand tu montres cette propriété c'est déjà pour y réel. La démonstration va ressembler à ça: Propriété à montrer "P(n): Soit y dans R, alors y^n - 1 = ..." (note que le soit y dans R est inclus dans l'énoncé) Démonstration: Initialisation: (n=1) Soit y dans R, alors y-1 = y-1, donc P(1) est vraie Récurrence: soit n, supposons P(n) Soit y dans R, alors P(n) nous donne que y^n - 1 = ... donc (blablabla beaucoup de formules que je passe) donc y^(n+1) - 1 = .... C'est vrai pour tout y dans R, donc P(n+1) est vraie. Donc par récurrence, on a montré que P(n) est vrai pour tout n>=1, on en déduit la propriété générale: pour tout y dans R, tout n dans N, on a y^n - 1 = ...

Attention à la terminologie... Le polynôme est un objet, il ne dépend pas de x. Tu peux soit dire "pour tout polynome à coefficients dans R", et à ce moment là l'objet de la discussion est le polynôme, ses racines, sa factorisation etc. ou alors énoncer une propriété pour tout x dans R mettant en jeu P(x). Dans notre cas on travaille d'abord sur P pour utiliser les théorèmes qu'on connaît sur les polynômes, par exemple pour trouver la factorisation, et ensuite on applique simplement à un x (qui peut être dans n'importe quel sous-ensemble, par exemple N) Je ne suis pas sûr de comprendre la question, donc voilà un exemple en espérant que ça devienne plus clair: soit x dans R, mettons que je veux factoriser x2+x-2 . Je pose P le polynôme dans C défini par P(X) = X2 +X -2. Mettons que je trouve ses racines, par exemple je vois par hasard que P(1) = 0 et P(-2) = 0, donc 1 et -2 sont racines. Donc par théorème (*) , P est divisible par X-1 et X+2 donc P(X) = (X-1) * (X+2) . Pour la suite notons Q(X) = (X-1) * (X+2), je viens de montrer que P = Q. Revenons à ce qu'on veut montrer. Soit x dans R, alors x appartient à C donc x2+x-2 = P(x). Or P = Q donc P(x) = Q(x), donc x2+x-2 = (x-1)(x+2) (*) si r est une racine de P, alors comment sait-on que P se factorise par (X - r) ? Et bien en fait il y a un théorème (niveau prépa) qui dit exactement ça, plus formellement: Soit P un polynôme quelconque, et r une racine de P, alors P est divisible par (X - r). La démonstration c'est en utilisant ton astuce en regardant le polynôme P(X) - P(r). Si r est une racine, alors par définition P(r) = 0, donc P(X) = P(X) - P(r). Donc P(X) = (an Xn + a1X + a0 ) - ( an rn + ... + a1 X + a0 ) = an (Xn - rn) + ... + a1 (X - r) , dont tous les membres sont divisibles par (X - r) grâce à la proposition que tu as citée plus haut.

Le raisonnement est tout à fait correct. Si vous n'êtes pas convaincu je vous conseille simplement d'écrire le raisonnement complet et uniquement à coup de "Soit x" et d'implications logiques pour voir qu'à aucun moment le fait que X>0 ne joue un rôle. Il y a 3 propositions importantes dans votre raisonnement. P1 : Soit p un polynôme dans C. Alors il se factorise selon ses racines: p(x) = k (x - a1)(x - ...)(x - an) P2 : Soit X dans C. Alors 2X2 - X - 1 = (2X + 1)(X - 1) P3 : Soit X>0. Alors 2X2 - X - 1 = (2X + 1)(X - 1) P1 est vraie d'après votre théorème. P2 est la conséquence directe de P1. P3 se déduit trivialement de P1. Plus formellement, il faut bien faire la différence entre le théorème sur le polynôme (P1) et le théorème sur X (P3). La preuve de ce théorème repose en effet sur le fait que P est un polynôme dans R (donc pas vrai si on impose X>0 aux valeurs de la variable). Par contre, dans votre exemple, vous prenez bien un polynôme dans R. Même si vous savez secrètement que le X qui vous intéressera plus tard est dans R+, le théorème sur le polynôme lui s'applique dans R (en fait, un polynôme par définition ne peut même pas être à valeurs dans R+, car l'inconnue doit être dans un anneau). De ce théorème vous déduisez une propriété P(X) vraie pour tout X dans R. Puis vous en déduisez trivialement qu'elle est vraie pour tout X>0. Non pas grâce aux propriétés des polynômes mais grâce aux propriétés des propositions. Si P(X) est vrai pour tout X dans A, alors P(X) est vraie pour tout X dans un sous-ensemble de A. En particulier votre preuve reste tout autant vraie pour X dans N, ou pour X posé égal à 42, etc.

C'est effectivement la bonne réponse. Autre question, est-ce que tu as compris pourquoi on a calculé le tableau de variations ?

Voilà. Tu divises le trajet parcouru par le trajet total. Note que tu divises des km par des km, donc tu obtiens un nombre sans dimensions, ça colle bien pour être une proportion. Ici : quel est le trajet total à parcourir ? quelle est la partie du trajet qui nous intéresse ? (Indice : ces 2 grandeurs doivent être homogènes. ) Est-ce que tu comprends bien ce qu'est une fonction et ce qu'elle représente ? j'aimerais bien t'aider mais je ne vois pas ce qui te bloque. Je trouve même ça effarant qu'on vous apprenne à résoudre un trinôme et calculer des dérivées mais que vous ne soyez pas sûrs de vous sur des choses simples comme ça.

Oublie les maths, c'est un problème de logique. J'ai 15 km à parcourir. Je fais 5 km à pied , puis 10 km en voiture. Quelle proportion (ou pourcentage, c'est quasiment pareil) du trajet ai-je fait à pied ?

Si tu veux je peux te donner la solution direct, mais c'est dans ton intérêt que tu comprennes. Pour commencer, une astuce : Ici ton 140 représente la distance totale, donc des kilomètres (on dit "homogène à des kilomètres"). Donc, quand tu divises 140 (des kilomètres) par 6 (des kilomètres), tu obtiens une proportion. Surtout pas d'autres kilomètres ! Reprenons : x = 6 km est la valeur à partir de laquelle on passe au dessus de f(x) = 100 m. pour 0 x 6 , on a f(x) 100 pour 6 x 140 , on a f(x) 100 On cherche la proportion du trajet parcourue en plaine, c'est-à-dire où f(x) 100 , par rapport au trajet parcouru total. Est-ce que tu vois maintenant qu'est-ce qu'il faut diviser par quoi et est-ce que tu en es bien convaincue ? Ensuite, est-ce que tu peux me dire pourquoi tu as calculé la dérivée et le tableau de variations ?

Je ne sais pas trop quoi te dire ^^ Tu te souviens comment tu as calculé ce 6 ? Qu'est-ce qu'il représente ?

En effet on dirait que tu ne comprends pas trop, pourtant tu as largement fait le plus dur. Réfléchis à ce que représente x , et à ce que représente f(x). Il te reste seulement une division à faire.

En fait il y a 2 parties dans cet exercice : - Trouver à partir de quand on sort de la plaine. Ce que tu as fait avec la calculatrice (sauf que ce n'est pas f(x) = 140 qu'on cherche !) - Montrer, grâce au tableau de variations, que les cyclistes resteront en plaine ensuite, c'est à dire que f(x) reste au dessus d'une certaine valeur. Attention c'est important, ce n'est pas parce que la fonction monte que rien ne l'empêche de redescendre après.

Le début est bon (variations), mais ensuite tu t'égares : Que représente f(x) = 140 ? (Rien ^^) Observe la courbe de la fonction, elle croît très vite au-dessus de 100m, varie ensuite un peu mais reste au dessus de 100m. En fait, elle n'est en plaine qu'au tout début, jusqu'à x=6 à peu près. Vois-tu maintenant comment t'y prendre ? La clé de cet exercice, c'est ton tableau de variations.