Trigonométrie : cercle trigonométrique

Présentation du cercle trigonométrique
Soit un repère orthonormé. Nous pouvons y construire un cercle de centre O et de rayon égal à la norme de (ou ). Les vecteurs et étant unitaires, ce cercle a pour rayon 1.



Définition

Dans un repère orthonormé, on appelle cercle trigonométrique le cercle ayant pour centre l'origine du repère et pour rayon 1.

Il faut voir le cercle trigonométrique comme un axe, à l'image de l'axe des réels, mais "enroulé" pour donner sa forme circulaire. Ainsi, il nous faut lui munir d'un point origine, d'une unité de longueur et d'une orientation. L'origine sera le point I d'abscisse 1 et l'unité de longueur va être la même que celle du repère. Nous poserons comme orientation le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé sens trigonométrique.

Le périmètre du cercle est donné par :

Sur l'axe réel, il est bien difficile de placer le point mais sur le cercle trigonométrique, les valeurs et se trouvent confondues. Il en est d'ailleurs de même pour . Nous pouvons aussi placer sans grandes difficultés .

Définition

Une abscisse curviligne d'un point M₀ de est un réel x₀ correspondant à une longueur, suivant l'axe trigonométrique, qui sépare I de M₀. Le point M₀ possède une infinité d'abscisses curvilignes, toutes de la forme , k décrivant .

Si M₁ d'abscisse x₁ est confondu avec M₀, on dit que « x₀ est congru à x₁ modulo ». On écrit : .

Une abscisse curviligne est, de préférence, donnée sous la forme , avec .

Exemple

Les points A et B d'abscisses curvilignes respectives et sont confondus.

, ou , par exemple, sont aussi des abscisses curvilignes de A (ou de B).

Sur le cercle trigonométrique, deux points A et B, d'abscisses respectives x_A et x_B, définissent un arc orienté , c'est-à-dire un segment courbe ayant une origine (ici, A) et un sens (ici de A vers B).

Une abscisse curviligne de M₀ et un arc orienté AB. Définitions

Une mesure d'un arc orienté est définie par la différence entre une abscisse x_A de A et une abscisse x_B de B. A et B ayant chacun une infinité d'abscisses modulo , les mesures de sont toutes de la forme :



que nous pouvons également écrire :

La mesure comprise dans l'intervalle [ − π,π] est la mesure principale de . Elle correspond à la longueur (en valeur algébrique) du chemin le plus court reliant A à B.




Le radian

Quelques correspondances radian-degré. Définition

À tout arc orienté du cercle trigonométrique peut être associé un angle orienté α compris entre les droites dirigées par et , et interceptant . Sa mesure en radian est définie par :



Remarques :

• Il existe une infinité d'angles orientés associés à un arc du cercle , séparés d'une distance ().
  
• On montre aisément que :

L'angle α peut aussi être notée :

ou

La dernière notation correspond à la mesure de mais il y a coïncidence entre l'angle et la mesure de son arc associé.




Sinus, cosinus, tangente, cotangente
Ajoutons au repère (déjà bien garni...) deux axes réels :

• l'axe Δ₁, image de x'x par la translation de vecteur ;
  
• l'axe Δ₂, image de y'y par la translation de vecteur .

<a href="http://fr.wikiversity.org/wiki/Image:Cercle_trigo_3.svg" class="internal" title="Représentation des fonctions sin, cos, tan et cot.">
Représentation des fonctions sin, cos, tan et cot. Définitions

Soient M un point du cercle trigonométrique et α l'angle associé à l'arc .

• Le sinus de α est l'abscisse, sur l'axe y'y, du point S₁, projeté orthogonal de M sur ce même axe.
  
• Le cosinus de α est l'abscisse, sur l'axe x'x, du point S₂, projeté orthogonal de M sur ce même axe.
  
• La tangente de α est l'abscisse, sur l'axe Δ₂, du point T₁, projeté orthogonal de M sur ce même axe.
  
• La cotangente de α est l'abscisse, sur l'axe Δ₁, du point T₂, projeté orthogonal de M sur ce même axe.

On les note respectivement sin(α), cos(α), tan(α) et cot(α) (ou sinα, cosα, tanα et cotα). Ce sont des fonctions circulaires d'angles orientés. Les plus importantes sont les fonctions sin, cos et tan.


Source : http://fr.wikiversity.org/