Arithmétique/divisibilité et congruences dans Z
Multiples d'un entier relatif
Définition |
L'entier relatif http://upload.wikimedia.org/math/d/a/f/daf78f2fbe9d3f724c6c3b93f516103b.png">[*]B)\,[*]plus généralement, http://upload.wikimedia.org/math/2/d/9/2d9d5071f91b280ce2f47f2b1b535fc5.png">B)c+b(c-d)=qnc+qB)n\," src="http://upload.wikimedia.org/math/c/3/7/c37aa565d6a8969d5cecac81b038a83a.png">.Par conséquent est divisible par .Donc (3) On utilise l'égalité suivante:B)(a^{p-1}+a^{p-2}b+ ... +a^{p-k}b^{k}+ ... +b^{p-1})\," src="http://upload.wikimedia.org/math/d/a/8/da89ec04020dd77ea8b6fd7a248eb13d.png"> pour et quelconques et Il suffit pour démontrer celle-ci de développer le membre de droite;après simplification on obtient bien le membre de gauche de l'égalité.Puisque , est un multiple de . Le membre de droite de l'égalité ci-dessus est par conséquent un multiple de comme multiple de .On a montré que est un multiple de .Donc .Autre démonstration. On applique la propriété (2) fois avec et . |
Exemple de congruence |
Quel est le reste de la division de par 7 ?Or et En multipliant membre à membre : Le reste de la division de par 7 est donc 2. |