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Arithmétique/divisibilité et congruences dans Z


Multiples d'un entier relatif

Définition

L'entier relatif http://upload.wikimedia.org/math/d/a/f/daf78f2fbe9d3f724c6c3b93f516103b.png">[*]B)\,[*]plus généralement, http://upload.wikimedia.org/math/2/d/9/2d9d5071f91b280ce2f47f2b1b535fc5.png">B)c+b(c-d)=qnc+qB)n\," src="http://upload.wikimedia.org/math/c/3/7/c37aa565d6a8969d5cecac81b038a83a.png">.Par conséquent ac-bd\, est divisible par n \,.Donc ac quiv bd [n]

(3) On utilise l'égalité suivante:B)(a^{p-1}+a^{p-2}b+ ... +a^{p-k}b^{k}+ ... +b^{p-1})\," src="http://upload.wikimedia.org/math/d/a/8/da89ec04020dd77ea8b6fd7a248eb13d.png"> pour a\, et b\, quelconques et p \in \mathbb{N}Il suffit pour démontrer celle-ci de développer le membre de droite;après simplification on obtient bien le membre de gauche de l'égalité.Puisque a quiv b[n], a-b \, est un multiple de n\,. Le membre de droite de l'égalité ci-dessus est par conséquent un multiple de n\, comme multiple de a-b\,.On a montré que a^{p} - b^{p}\, est un multiple de n\,.Donc a^p quiv b^p[n].Autre démonstration. On applique la propriété (2) p\, fois avec c=a\, et d=b\,.

Exemple de congruence

Quel est le reste de la division de 2^{16}\, par 7 ?2 quiv 2[7] \Rightarrow 2^3 quiv 8[7] \Rightarrow 2^3 quiv 1[7]16 = 3	imes 5+1 \Rightarrow 2^{16} = 2^{3	imes 5+1} = (2^3)^5 	imes 2Or (2^3)^5 quiv 1^5[7] \Leftrightarrow (2^3)^5 quiv 1[7] et 2 quiv 2[7]En multipliant membre à membre : (2^3)^5	imes 2 quiv 1	imes 2[7] \Leftrightarrow 2^{16} quiv 2[7]Le reste de la division de 2^{16}\, par 7 est donc 2.


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