Les Triangles
Définition/Propriété :
- un triangle est un polygone à 3 côtés.
- Il existe 4 types de triangle dont 3 types particuliers: quelconque (sans particularité), isocèle avec 2 côtés égaux, équilatéral avec 3 côtés égaux et rectangle avec un angle droit.
- la somme des mesures des angles d'un triangle fait 180°.
- Dans un triangle, la droite passant par les milieux de 2 côtés opposés est parallèle au troisième côté et mesure la moitié de celui-ci. [list]
LES MEDIANES
La droite AM est la médiane issue du sommet A. Elle coupe le côté opposé BC à son milieu au point M.
Sur ce dessin les trois médianes du triangle sont tracées. Elles se coupent au point O, appelé centre de gravité du triangle.
LES HAUTEURS
La droite AH est la hauteur issue du sommet A, elle est perpendiculaire au côté opposé BC.
Les trois hauteurs du triangle se coupent au seul point H, appelé orthocentre du triangle.
LES ANGLES
Un angle droit mesure 90°
Un angle plat est la somme de deux angles droits, mesure 180°.
La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°.
On en déduit :
[list] - si un triangle est rectangle en A, alors la somme des angles B et C est 90°.
- si le triangle est équilatéral, alors les trois angles sont de même mesure : 60°
La droite M perpendiculaire à la droite BC et coupant la droite BC en son milieu est une médiatrice.
Les 3 médiatrices se coupent en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle, c'est à dire le cercle passant par les trois sommets du triangle.
LES BISSECTRICES
La bissectrice d'un angle est la droite coupant celui-ci en deux angles égaux faisant chacun la moitié de l'angle initial.
Les 3 bissectrices se coupent en un point qui est le centre du cercle inscrit du triangle, c'est à dire le cercle tangent aux trois côtés du triangle.
LE TRIANGLE ISOCELE
- Dans un triangle ABC isocèle en A, la médiane, la hauteur, la bissectrice issues de A et la médiatrice de la base [BC] sont confondues.
- Les deux angles à la base d'un triangle isocèle ont la même mesure.
- Dans un triangle ABC équilatéral, la médiane, la hauteur, la bissectrice issues d'un sommet et la médiatrice du côté opposé sont confondues.
- Il vient que l'orthocentre, le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit sont confondus.
- Les angles d'un triangle équilatéral ont même mesure, c'est à dire 60°.
- Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté le plus grand du triangle, et la médiane relative à l'hypoténuse mesure la moitié de l'hypoténuse.
- Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l'hypoténuse, le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse.
- Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires, leur somme fait 90°.
