Ensemble : définitions
Ensembles
Définitions: ensemble et élément
Un ensemble est une collection ou un groupement d'objets; ces objets s'appellent les éléments de cet ensemble.Soit E un ensemble, quand a est un élément de E, nous disons que a est dans E ou que a appartient à E et nous écrivons 
, ce qui se lit « a appartient à E ». Quand au contraire a n'est pas élément de E, nous disons que a n'appartient pas à E et nous écrivons 
, ce qui se lit « a n'appartient pas à E ».
Définition/Notation: ensemble vide
Un ensemble est dit vide s'il n'a aucun élément et nous notons l'ensemble vide 
ou plus souvent 
.
- Remarque: Retenons qu'une chose est un ensemble, si nouspouvons dire si un objet quelconque est ou n'est pas élément de cettechose; concernant l'ensemble vide nous pouvons dire qu' aucun objetn'est élément de cette chose.
Exemples d'ensembles
- Les entiers naturels 0,1,2,3,... forment un ensemble qui se note
. - Les entiers relatifs ..., − 3, − 2, − 1,0,1,2,3,... forment un ensemble qui se note
. - Les nombres rationnels (de la forme p / q où
et 
) forment un ensemble noté 
. - Les points du plan forment un ensemble.
Définition d'un ensemble en extension et en compréhension
Un ensemble peut être défini en extension, c'est à dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades, ou en compréhension c'est à dire par une propriété caractérisant ses éléments.
La manière la plus simple de décrire un ensemble « fini » est delister ses éléments entre accolades. L'ensemble est alors défini enextension. Par exemple {1,2} représente l'ensemble dont les élémentssont 1 et 2.
- L' ordre des éléments ne revêt aucune importance; par exemple, {1,2} = {2,1}.
- La répétition d' éléments entre les accolades ne modifie pas l'ensemble; par exemple, {1,2,2} = {1,1,1,2} = {1,2}.
Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d'élémentsest « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemblesuivis de points de suspension. Par exemple, l'ensemble des entiersnaturels se définit par : ℕ={0, 1, 2, 3, ...}. Les points de suspensionpeuvent aussi être utilisés pour abréger l'écriture de la liste deséléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l'ensemble {1, 3,5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21} s'écrit plus simplement {1, 3, 5,...,21}. Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entreaccolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple lanotation {entiers pairs} désigne l'ensemble de tous les entiersrelatifs multiples de 2. Il est aussi possible de définir un ensemblepar une proposition logique P qui dépend de x. L'ensemble est alors constitué de tous les objets x pour lesquels la condition P est vraie. Cet ensemble se note {x / P(x)}. Par exemple, {x/xest un nombre réel} désigne l'ensemble des nombre réels ℝ. Cettenotation est appelée « notation de définition d'un ensemble encompréhension ». Quelques variantes de notations de définition d'unensemble en compréhension sont:
- {x ∈ A / P(x)} désigne l'ensemble des x qui sont déjà éléments de A tels que la condition P soit vérifiée pour ces x. Par exemple, si ℤ est l'ensemble des entiers, alors {x ∈ ℤ / x est un entier pair} est l'ensemble de tous les entiers pairs.
- {F(x) / x ∈ A} désigne l'ensemble de tous les objets obtenus en mettant les éléments de l'ensemble A dans la formule F. Par exemple, {2x / x ∈ ℤ} est encore l'ensemble de tous les entiers pairs.
- {F(x) / P(x)} est la forme la plusgénérale de la définition en compréhension. Par exemple, { propriétairede x / x est un chien} est l'ensemble de tous les propriétaires dechiens.
Définition: Égalité de deux ensembles
Deux ensembles E et F sont dits égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments et nous écrivons E = F. Nous avons
Sous-ensemble, partie d'un ensemble
Inclusion
Définition
Soient E et F deux ensembles quelconques. Nous disons que E est inclus dans F ou que E est un sous-ensemble de F ou encore que E est une partie de F ssi tout élément de E est un élément de F. Nous écrivons 
.Soit: 
Notation
Nous notons 
, l'ensemble des parties de l'ensemble E.
- Exemple :
.
Propositions
.
.
- Démonstrations:
- 1. Soient E,F et G trois ensembles.
- Supposons et
- Soit
, on a 
(car ) - De même comme et on a
- Donc si alors d'où
- 2. Soient E et F deux ensembles
- Notons
. G est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à E et à F (en fait 
). - Supposons
et 
- Remarquons que :
- De même on a
)
- On a montré
