Barycentre de 2 points pondérés

Définition et localisation

Définition

Soient A et B deux points de l'espace. Soient α et β deux réels vérifiant $Image IPB$ . Le barycentre du système de points pondérés {(A,α);(B,β)} est l'unique point G qui vérifie

$Image IPB$ Si α + β = 0, le barycentre n'existe pas.

Cette définition est fondamentale car elle est le point de départ de nombreux exercices sur les barycentres

Exemple

Soit I le milieu de [AB].

On sait que $Image IPB$ donc I est le barycentre du système de points pondérés {(A,1);(B,1)}

Localisation
Soit G le barycentre du système de points pondérés {(A,α);(B,β)} (avec $Image IPB$ ). On peut trouver l'emplacement de G par les deux formules suivantes :

$Image IPB$ et $Image IPB$

Le principe de la démonstration qui suit est important : si l'on veut obtenir la localisation de G à partir de A, il faut utiliser la relation de Chasles pour faire apparaître A au milieu de tous les vecteurs où il n'est pas déjà.

Démonstration

$Image IPB$

donc $Image IPB$

donc $Image IPB$

donc $Image IPB$

Finalement $Image IPB$ , d'où la nécessité d'avoir $Image IPB$

On démontre l'autre égalité de la même manière.

Propriétés
On suppose désormais que le barycentre G du système de points pondérés {(A,α);(B,β)} existe, c'est-à-dire $Image IPB$

Alignement
Propriété

Comme $Image IPB$ , alors $Image IPB$

Invariance par multiplication par un réel non nul
Propriété

Soit k un réel non nul. Le barycentre de deux points pondérés ne change pas si on multiplie tous les coefficients par k.

Démonstration

$Image IPB$ donc $Image IPB$

De plus, comme $Image IPB$ et que $Image IPB$ , on a bien $Image IPB$

Donc G est le barycentre du système de points pondérés {(A,kα);(B,kβ)}

Égalité valable en tout point de l'espace
Propriété

Pour tout point M de l'espace : $Image IPB$

Le principe de la démonstration qui suit est important : la relation de Chasles permet d'introduire un nouveau point dans la formule de définition. Cette idée revient souvent dans les exercices de ce type.

Intérêts :

Ramener un problème mettant en jeu plusieurs points (A, B) à un problème mettant en jeu un seul point (G)
Calculer explicitement les coordonnées du barycentre en faisant M=O

Démonstration

Soit M un point de l'espace

$Image IPB$

$Image IPB$

$Image IPB$

$Image IPB$

Coordonnées du barycentre
Propriété

On munit l'espace d'un repère $Image IPB$ dans lequel A(x_A,y_A,z_A) et B(x_B,y_B,z_B)

Les coordonnées de G dans $Image IPB$ sont $Image IPB$

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Démonstration

On sait que pour tout point M de l'espace, $Image IPB$ .

On applique cette formule en O : $Image IPB$

donc $Image IPB$

donc, comme O est le centre du repère $Image IPB$ , $Image IPB$ , ce qui est le résultat

Source : http://fr.wikiversity.org